浙江省杭州市临安中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

2022学年第二学期高二年级开学考试

数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间四边形中，等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.

【详解】.

故选：C

2. 直线的一个方向向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，

又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，

故选：A.

3. 已知命题：直线与平行，命题，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.

【详解】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题．

则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．

故选：A．

4. 若平面，的法向量分别为，，则（    ）

A.  B.  C. ，相交但不垂直 D. 以上均不正确

【答案】C

【解析】

【分析】应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，即可判断面面关系.

【详解】由，而，

由所得向量夹角余弦值知：，相交但不垂直.

故选：C

5. 已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标表示，利用向量相等列方程组即可求出结果．

【详解】因为向量在基底下的坐标为，即，

设，、、，

所以，

令，解得，，；

所以在基底下坐标为．

故选：B.

6. 与直线关于点对称的直线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.

【详解】解析：

设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.

故选:D.

【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题.

7. 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.

【详解】如图建立空间直角坐标系，则，

所以，

所以，

所以点到直线的距离是.

故选：D.

8. 已知，满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点的位置，进而得出答案.

【详解】

如图，过点作点关于线段的对称点，则.

设，则有，解得，所以.

设，则，所以，

又，所以点到轴的距离为，

所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.

过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.

过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.

因为，所以的最小值为.

故选：B．

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 是空间的一个基底，与､构成基底的一个向量可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据空间基底、共面等知识确定正确答案.

【详解】由于，所以、、共面，

不能构成基底，B选项错误.

由于，所以、､共面，

不能构成基底，D选项错误.

假设，

则，但此方程组无解，所以、､不共面，

可以构成基底，A选项正确.

假设，

则，但此方程组无解，所以、､不共面，

可以构成基底，C选项正确.

故选：AC

10. 已知直线，则下列表述正确的是（    ）

A. 当时，直线的倾斜角为

B. 当实数变化时，直线恒过点

C. 当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1

D. 直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；

B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；

C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；

D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.

则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.

【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；

B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；

C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为

，故C错误；

D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.

又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当

，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.

故选：ABD.

11. 在空间直角坐标系中，，，，则（    ）

A.  B.

C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，，A选项错误.

，B选项正确.

设异面直线与所成角为，

则，所以C选项错误.

到直线距离为，所以D选项正确.

故选：BD

12. 对于两点，，定义一种“距离”：，则（    ）

A. 若点C是线段AB的中点，则

B. 中，若，则

C. 在中，

D. 在正方形ABCD中，有

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据新定义，，之间的“距离:对选项逐个分析即可判断其正误即可．

【详解】A中，若点C是线段AB的中点，则点C坐标为，

则，故A正确；

B中，因为中，若，取，，

则，，

，

故，，

显然，故B不正确；

对于C，设，则，

因为，

同理，

所以，故C正确;

D中，因为ABCD为正方形，设正方形边长为a，可取，

则，，故D正确．

故选：ACD.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，且，则___________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】利用向量垂直的坐标运算求解.

【详解】向量，，且，

则有，解得.

故答案为：

14. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______

【答案】

【解析】

【分析】由向量在向量上的投影向量为,，计算即可求出答案．

【详解】向量，，

则，，，

所以向量在向量上的投影向量为

,,0,,0,，

故答案为：．

15. 点到直线的距离的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.

【详解】因为直线恒过点，

记，直线为直线，

则当时，此时点到直线的距离最大，

∴点到直线距离的最大值为：

.

故答案为：.

16. 是直线上的第一象限内的一点，为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，当面积最小时，点的坐标是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，设出点的坐标，并表示出点的横坐标，再列出三角形面积的关系式，利用均值不等式求解作答.

【详解】依题意，设，，则，

而，则有，显然，于是，

由点在x轴正半轴上，得，面积

，当且仅当，即时取等号，

所以当面积最小时，点的坐标是.

故答案为：

四､解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；

（1）用向量，，表示向量；

（2）求线段的长度．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据空间向量基本定理利用向量的加减法法则求解即可，

（2）先根据题意可得，，，然后对平方化简可求得结果.

【小问1详解】

因为为中点，为中点， ，，，

所以

；

【小问2详解】

因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，

所以，，，

所以

所以，即线段PM长为

18. 设复数，i为虚数单位，且满足．

（1）求复数z；

（2）复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，复数模公式以及复数相等的概念，即可求解；

（2）将复数z代入方程，结合复数相等的概念即可求解.

【小问1详解】

设，

，

，解得.

【小问2详解】

是方程的一个根，

，即，

则

19. 如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．

（1）求直线CD的方程；

（2）若，求点D横坐标．

【答案】（1）   

（2）横坐标为或2

【解析】

【分析】（1）由题意可得，设直线CD的方程为（），结合平行四边形ABCD的面积、求得AB与CD之间的距离，利用平行线的距离公式列方程求参数m，根据题设写出直线方程；

（2）设点D的坐标为，根据点在直线上、两点距离公式列方程求坐标即可.

【小问1详解】

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以，则．

设直线CD的方程为（），即．

因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．

由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．

由C，D在第一象限知：，所以，

故直线CD的方程为．

【小问2详解】

设点D的坐标为，由，则．

所以，解得或，

故点D的横坐标为或2．

20. 在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，

（1）求角C：

（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）对已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后化简可求出角；

（2）设的外接圆半径为，利用正弦定理将已知等式化简变形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面积，利用三角函数恒等变换公式化简，再利用正弦函数的性质可求得结果．

【小问1详解】

及正弦定理得，       

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，∵，∴．

【小问2详解】

设外接圆的半径为，由，

得，即，

则，∴．       

的面积．

∵，∴，，∴，

∵，，，∴，∴，∴，

∴，∴，即锐角面积的取值范围是．

21. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，四边形为梯形，，.

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定可证得结论；

（2）取中点，结合面面垂直的性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，根据线面角的向量求法可构造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

取中点，连接，

分别为中点，，，

，，又，

，，四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面.

【小问2详解】

取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，

又，，即；

为等边三角形，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面；

则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设，，则，，，，，

，，，，

设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

，解得：，；

设平面的法向量，

则，令，解得：，，；

，

即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

22. 已知函数，

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若有三个零点，且求证：

①

②.

【答案】（1）   

（2）①证明见解析；②证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意去绝对值，然后根据二次函数的性质即可求解；

（2）①根据题意可得当时不符合题意即，且进而得到，然后根据题意代入即可证明；

②根据题意和求根公式可得，，然后作差即可证明.

【小问1详解】

因为，

所以，

当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递增；

因此的单调递减区间为.

【小问2详解】

①，

当时，仅有一个零点，不合题意；

当时，

当时，在仅有一个零点，在没有零点，不合题意；

当时，在仅有一个零点，因为，所以在没有零点，不合题意；

因此，所以

在仅有一个零点，在有两个零点，，且当时；

，∴，

∵，∴，

∴，∵，

∴，

综上：

②由题意可知：

，，

∴

，