2023年广东省广州市中考数学试卷【附答案】

2023年广东省广州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）﹣（﹣2023）＝（　　）

A．﹣2023 B．2023 C． D．

2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，12．下列关于这组数据描述正确的是（　　）

A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3＝a5 B．a8÷a2＝a4（a≠0） 

C．a3•a5＝a8 D．（2a）﹣1＝（a≠0）

5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． 

C． D．

6．（3分）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．（3分）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为（　　）

A． B． C．20 D．

8．（3分）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h（　　）

A． B． 

C． D．

9．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）（　　）

A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，

10．（3分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣2）x+k2﹣1＝0有两个实数根，则的化简结果是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣1﹣2k D．2k﹣3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11．（3分）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾280000个　          　．

12．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　   　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）

13．（3分）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，则a的值为 　     　.若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为 　     　°．

14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，F为对角线BD上一动点，连接CF，则CF+EF的最小值为 　              　．

15．（3分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，AE＝12，DF＝5　                  　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点M是边AC上一动点，E分别是AB，MB的中点，DE的长是 　      　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，AN的中点，当AM＞2.4时　        　．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4分）解方程：x2﹣6x+5＝0．

18．（4分）如图，B是AD的中点，BC∥DE

19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），B（0，2），向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．

（1）点D的坐标是 　        　，所在圆的圆心坐标是 　        　；

（2）在图中画出，并连接AC，BD；

（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留π）

20．（6分）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．

（1）因式分解A；

（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，并化简该分式．

21．（8分）甲、乙两位同学相约打乒乓球．

（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个；

（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球

22．（10分）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用y1（元）与该水果的质量x（千克）之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用y2（元）与该水果的质量x（千克）之间的函数解析式为y2＝10x（x≥0）．

（1）求y1与x之间的函数解析式；

（2）现计划用600元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？

23．（10分）如图，AC是菱形ABCD的对角线．

（1）尺规作图：将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B旋转后的对应点为D（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，连接BD

①求证：△ABD∽△ACE；

②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．

24．（12分）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．

（1）若m＝﹣2，求n的值；

（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G

①m为何值时，点E到达最高处；

②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，求此时顶点E的坐标；若不存在

25．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上一动点（不与点A，D重合），连接AF．

（1）若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等边三角形；

（2）延长FA，交射线BE于点G．

①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能；

②若，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长．

1．B．

2．D．

3．A．

4．C．

5．B．

6．C．

7．D．

8．B．

9．D．

10．A．

11．2.8×108．

12．＜．

13．30，36．

14．

15．．

16．1.7；3≤S≤4．

17．分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝7，

x﹣1＝0，x﹣8＝0，

x1＝6，x2＝5．

18．证明：∵B是AD的中点，

∴AB＝BD，

∵BC∥DE，

∴∠ABC＝∠D，

在△ABC和△BDE中，

，

∴△ABC≌△BDE（SAS），

∴∠C＝∠E．

19．（1）如下图，由平移的性质知，2），，0），

故答案为：（3，2），0）；

（2）在图中画出，并连接AC，见下图；

（3）和长度相等×2πr＝，

而BD＝AC＝5，

则封闭图形的周长＝++6BD＝2π+10．

20．解：（1）2a2﹣5

＝2（a2﹣4）

＝2（a+2）（a﹣3）；

（2）选A，B两个代数式、分母，

＝

＝．

21．解：（1）画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，

∴P（乙选中球拍C）＝；

（2）公平．理由如下：

画树状图如下：

一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有6种可能的结果，

∴P（甲先发球）＝，

P（乙先发球）＝，

∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），

∴这个约定公平．

22．解：（1）当0≤x≤5时，设y8与x之间的函数解析式为y1＝kx（k≠0），

把（6，75）代入解析式得：5k＝75，

解得k＝15，

∴y1＝15x；

当x＞7时，设y1与x之间的函数解析式为y1＝mx+n（m≠4），

把（5，75）和（10，

解得，

∴y1＝9x+30，

综上所述，y8与x之间的函数解析式为y1＝；

（2）在甲商店购买：2x+30＝600，

解得x＝63，

∴在甲商店600元可以购买63千克水果；

在乙商店购买：10x＝600，

解得x＝60，

∴在乙商店600元可以购买60千克，

∵63＞60，

∴在甲商店购买更多一些．

23．解：（1）如图1，作法：1．以点D为圆心，

6．以点A为圆心，交前弧于点E，

3．连接DE，

△ADE就是所求的图形．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵DE＝BC，AE＝AC，

∴△ADE≌△ABC（SSS），

∴△ADE就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形．

（2）①如图2，由旋转得AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，

∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD∽△ACE．

②如图5，延长AD交CE于点F，

∵AB＝AD，BC＝DC，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC＝∠DAC，

∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠DAC，

∵AE＝AC，

∴AD⊥CE，

∴∠CFD＝90°，

设CF＝m，CD＝AD＝x，

∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，

∴AF＝6CF＝3m，

∴DF＝3m﹣x，

∵CF5+DF2＝CD2，

∴m5+（3m﹣x）2＝x5，

∴解关于x的方程得x＝m，

∴CD＝m，

∴cos∠DCE＝＝＝，

∴cos∠DCE的值是．

24．解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜6）得n＝﹣；

故n的值为7；

（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，

解得x＝m或x＝n，

∴M（m，0），8），

∵点P（m，n）在函数y＝﹣，

∴mn＝﹣2，

令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣5＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，

即当m+n＝4，且mn＝﹣2，

则m2＝7，解得：m＝﹣，

即m＝﹣时，点E到达最高处；

②假设存在，理由：

对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝7时，即点G（0，

由①得M（m，0），8），﹣2），﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝，

由点M（m，0），﹣2）的坐标知＝，

作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，则点T（m，

则tan∠MKT＝﹣m，

则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣．

当x＝时，y＝﹣m）﹣1＝﹣，

则点C的坐标为：（，﹣）．

由垂径定理知，点C在FG的中垂线上C﹣yG）＝2×（﹣+2）＝7．

∵四边形FGEC为平行四边形，

则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，

解得：yE＝﹣，

即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，

则m+n＝，

∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．

25．（1）证明：由轴对称的性质得到BF＝BC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABE＝15°，

∴∠CBE＝75°，

∵BC关于BE对称的线段为BF，

∴∠FBE＝∠CBE＝75°，

∴∠ABF＝∠FBE﹣∠ABE＝60°，

∴△ABF是等边三角形；

（2）解：①能，

∵边BC关于BE对称的线段为BF，

∴BC＝BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝AB，

∴BF＝BC＝BA，

∵E是边AD上一动点，

∴BA＜BE＜BG，

∴点B不可能是等腰三角形BGF的顶点，

若点F是等腰三角形BGF的顶点，

则有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，

此时E与D重合，不合题意，

∴只剩下GF＝GB了，

连接CG交AD于H，

∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，

∴△CBG≌△FBG（SAS），

∴FG＝CG，

∴BG＝CG，

∴△BGF为等腰三角形，

∵BA＝BC＝BF，

∴∠BFA＝∠BAF，

∵△CBG≌△FBG，

∴∠BFG＝∠BCG，

∵AD∥BC，

∴∠AHG＝∠BCG，

∴∠BAF+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝180°﹣∠BAD＝90°，

∴∠FGC＝180°﹣∠HAG﹣∠AHG＝90°，

∴∠BGF＝∠BGC＝＝45°，

∵GB＝GC，

∴∠GBC＝∠GCB＝（180°﹣∠BGC）＝67.5°，

∴∠ABE＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣67.3°＝22.5°；

②由①知，△CBG≌△FBG，

要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值，

在△GBC中，底边BC是定值，

如图2，过G作GP⊥BC于P，取AC的中点M，作MN⊥BC于N，

设AB＝5x，则AC＝2x，

由①知∠AGC＝90°，M是AC的中点，

∴GM＝＝x，MN＝，

∴PG≤GM+MN＝（）x，

当G，M，N三点共线时，

∴△BGF面积的最大值＝

＝（2）×

＝；

如图5，设PG与AD交于Q，

则四边形ABPQ是矩形，

∴AQ＝PB＝x，PQ＝AB＝2x，

∴QM＝MP＝x，GM＝x，

∴，

∵QE+AE＝AQ＝x，

∴，

∴

＝2（）x

＝2（×（）

＝．