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+四川省绵阳市涪城区2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
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这是一份+四川省绵阳市涪城区2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷
一、选择题.
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．（﹣4）3的立方根是﹣4
C．无理数都是无限小数 D．的平方根是
2．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．和为180°的两个角是邻补角
B．一条直线的垂线有且只有一条
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等
3．（3分）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B．m+5＜n+5 C．6m＜6n D．﹣2m＜﹣2n
4．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）
A．3≤a＜3.5 B．3＜a≤3.5 C．3＜a＜3.5 D．3≤a≤3.5
5．（3分）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠MNP＝45°．下列结论：
①GE∥MP；
②∠EFN＝150°；
③∠BEF＝75°；
④∠AEG＝∠PMN．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
7．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OG⊥CD，∠CDO＝50°；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°（ ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
11．（3分）2020年11月1日零时，我国开展第七次全国人口普查.2021年5月11日，国务院新闻办公室公布普查结果，绘制的我国每10万人中拥有大学文化（指大专及以上）程度人数的折线图．设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x（ ）
A．（1+0.9）x＝1.55 B．0.9（1+x）×10＝1.55
C．0.9（1+x）＝1.55 D．0.9（1+x）10＝1.55
12．（3分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙；当购物车内选择2件甲，3件乙，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知点P（3a﹣6，1﹣a）在x轴上，则点P的坐标为 ．
14．（3分）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 ．
15．（3分）如图，已知AB∥EF，若α＝∠A+∠F，则α与β之间的数量关系为 ．
16．（3分）已知：y＝，当a，b取不同的值时，当y最小时，ba的算术平方根为 ．
17．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
三、解答题（共46分）
18．（8分）解不等式（组）：
（1）
（2）
19．（8分）如图，将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度1B1C1．
（1）画出三角形A1B1C1，并写出A1B1C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），则a＝ ，b＝ ；
（3）求三角形ABC的面积．
20．（10分）已知x，y满足方程组且x+y＜0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简．
21．（10分）如图1，已知直线AB、CD分别与直线EF相交于M、N两点，∠BME＝50°
（1）请添加一个条件，使直线AB∥CD，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠MND的平分线交AB于点G
22．（10分）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），∠DCM之间的数量关系．
2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．（﹣4）3的立方根是﹣4
C．无理数都是无限小数 D．的平方根是
【分析】根据算术平方根、立方根、平方根和无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．5是25的算术平方根；
B．∵（﹣4）2＝﹣64，
∴（﹣4）3的立方根是﹣8，故本选项不符合题意；
C．无限小数包括无限不循环小数和无限循环小数，无限循环小数是有理数；
D．的平方根是；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义等知识点，能熟记算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义是解此题的关键．
2．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．和为180°的两个角是邻补角
B．一条直线的垂线有且只有一条
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等
【分析】利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、和为180°的两个角不一定是邻补角，为假命题；
B、一条直线有无数条垂线，为假命题；
C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，为假命题；
D、两条直线被第三条直线所截，则同位角必相等，为真命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大．
3．（3分）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B．m+5＜n+5 C．6m＜6n D．﹣2m＜﹣2n
【分析】直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴m﹣5＞n﹣5，原变形错误；
B．∵m＞n，
∴m+5＞n+5，原变形错误；
C．∵m＞n，
∴6m＞3n，原变形错误；
D．∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，原变形正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
4．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）
A．3≤a＜3.5 B．3＜a≤3.5 C．3＜a＜3.5 D．3≤a≤3.5
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞8，得x＞2，
∴不等式组的解集为2＜x≤7a﹣1，
∵不等式组整数解共有三个，
∴不等式组的整数解为3、8、5，
∴5≤8a﹣1＜6，
则2≤a＜3.5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（3分）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠MNP＝45°．下列结论：
①GE∥MP；
②∠EFN＝150°；
③∠BEF＝75°；
④∠AEG＝∠PMN．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②由题意可得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求∠EFN＝150°；
③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF＝75°；
④利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断．
【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正确；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，
∵∠MNP＝45°，
∴∠AEG＝∠PNM，故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
6．（3分）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【分析】根据统计图中给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了69434﹣52530＝16904（元），故本选项不合题意；
B、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入逐年增长，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率，正确；
D、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
7．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＜2x+6，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜6，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OG⊥CD，∠CDO＝50°；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质可得OG⊥AB；由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度数，得到OF平分∠BOD；由CD∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，∠AOE的度数；又由OG⊥CD，即可求得∠GOE与∠DOF的度数．
【解答】解：∵OG⊥CD，CD∥AB，
∴OG⊥AB，
故①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠BOF＝90°﹣∠AOE＝25°，
∵∠BOD＝50°，
∴OF平分∠BOD；
故②正确；
∵CD∥AB，
∴∠BOD＝∠CDO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝65°；
故③正确；
∵OG⊥AB，
∴∠GOE＝90°﹣∠AOE＝25°，
∵∠DOF＝∠BOD＝25°，
∴∠GOE＝∠DOF；
故④正确．
故正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°（ ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
【分析】设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x﹣18°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，于是利用平角定义可计算出x＝66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝114°，所以∠AEF＝114°．
【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣18°＝180°，
解得x＝66°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°，
∴∠AEF＝114°．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
11．（3分）2020年11月1日零时，我国开展第七次全国人口普查.2021年5月11日，国务院新闻办公室公布普查结果，绘制的我国每10万人中拥有大学文化（指大专及以上）程度人数的折线图．设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x（ ）
A．（1+0.9）x＝1.55 B．0.9（1+x）×10＝1.55
C．0.9（1+x）＝1.55 D．0.9（1+x）10＝1.55
【分析】从折线图中找到2010年和2020年的数据，然后列出方程即可．
【解答】解：设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x，
根据题意得：0.9（2+x）＝1.55，
故选：C．
【点评】考查了统计图的知识，解题的关键是了解增长了10年该表示为0.9（1+x）10＝1.55，难度不大．
12．（3分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙；当购物车内选择2件甲，3件乙，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得：，
①+②得：6x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴4x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知点P（3a﹣6，1﹣a）在x轴上，则点P的坐标为 （﹣3，0） ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：∵点P（3a﹣6，7﹣a）在x轴上，
∴1﹣a＝0，
解得a＝6，
∴3a﹣6＝8×1﹣6＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，0）．
故答案为：（﹣7，0）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
14．（3分）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 2 ．
【分析】由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，求出A′，B′的坐标可得结论．
【解答】解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，
∵A（﹣1，8），2），
∴A′（2，﹣3），1），
∴a＝﹣1，b＝7，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（3分）如图，已知AB∥EF，若α＝∠A+∠F，则α与β之间的数量关系为 β＝3α ．
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，得到CM∥DN∥FE，由平行线的性质推出∠A+∠F＝180°，∠B+∠MCB＝180°，∠MCD+∠NDC＝180°，∠EDN+∠DEF＝180°，得到∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝180°×3，即可得到答案．
【解答】解：过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴CM∥DN∥FE，
∴∠A+∠F＝180°，∠B+∠MCB＝180°，∠EDN+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠MCB+∠MCD+∠NDC+∠EDN+∠DEF＝180°×3，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝180°×3，
∵α＝∠A+∠F，β＝∠B+∠BCD+∠CDE+∠E，
∴β＝4α．
故答案为：β＝3α．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，得到CM∥DN∥FE，由平行线的性质即可解决问题．
16．（3分）已知：y＝，当a，b取不同的值时，当y最小时，ba的算术平方根为 1 ．
【分析】结合已知条件，根据二次根式的非负性确定a，b的值，然后求得ba的算术平方根即可．
【解答】解：已知y＝+，
∵≥0，，
∴当a﹣2＝3，3（b+1）＝5时，
则a＝2，b＝﹣1，
那么ba＝（﹣8）2＝1，
则ba的算术平方根为4，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的非负性及算术平方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
17．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
三、解答题（共46分）
18．（8分）解不等式（组）：
（1）
（2）
【分析】（1）整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×2﹣②×2，可得﹣30x＝﹣50，
解得x＝，
把x＝代入③+7y＝﹣4，
解得y＝﹣，
∴原方程组的解是．
（2）解不等式①得x＜5，
解不等式②得x＞﹣4，
故不等式组的解集是﹣4＜x＜6．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度1B1C1．
（1）画出三角形A1B1C1，并写出A1B1C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），则a＝ 1 ，b＝ 2 ；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）△A1B1C8．如图所示．A1（﹣4，﹣2），B1（2，﹣7），C1（﹣1，8）；
（2）平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣6），
∵P1（﹣2，﹣3），
∴，
解得．
故答案为：1，2；
（3）S△ABC＝2×6﹣×6×1﹣×4×3＝10.3．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．
20．（10分）已知x，y满足方程组且x+y＜0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简．
【分析】（1）把m看作已知数表示出x与y；
（2）把表示出的x与y代入不等式计算即可求出m的范围；
（3）根据m的范围，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1），
①+②×3得5x＝15m+10，
解得x＝7m+2，
把x＝3m+3代入②得：3m+2﹣y＝2m+1，
解得y＝1﹣m，
则方程组的解为；
（2）∵x+y＜2，
∴3m+2+7﹣m＜0，
解得m＜﹣；
（3）∵m＜﹣，
∴m+＜0，2，
则原式＝﹣m﹣﹣2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（10分）如图1，已知直线AB、CD分别与直线EF相交于M、N两点，∠BME＝50°
（1）请添加一个条件，使直线AB∥CD，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠MND的平分线交AB于点G
【分析】（1）可以添加：∠DNE＝50°．利用同位角相等两直线平行即可证明．
（2）利用平行线的性质求出∠AGN即可．
【解答】解：（1）可以添加：∠DNE＝50°．
理由：如图1中，∵∠BME＝50°，
∴∠BME＝∠DNE，
∴AB∥CD．
（2）∵∠DNE＝50°，NG平分∠DNE，
∴∠DNG＝∠DNE＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠BGN+∠DNG＝180°，
∴∠BGN＝180°﹣25°＝155°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），∠DCM之间的数量关系．
【分析】（1）过M作MP∥AB，根据平行线的性质可得∠PMC＝∠MCD，再根据BM⊥CM，可得∠BMP+∠PMC＝90°，进一步得到∠ABM+∠MCD＝90°，可得∠ABM和∠DCM互余；
（2）过M作MF∥AB，交BC于F，根据平行线的性质可得∠DCM＝∠FMC，可得∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过M作MP∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC＝∠MCD，
又∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC＝90°，
∴∠ABM+∠MCD＝90°，
∴∠ABM和∠DCM互余；
（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，则∠ABM＝∠BMF，
又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM＝∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）当点M在E、A两点之间时，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；
当点M在AD的延长线上时，如图4．
【点评】考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
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2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷
一、选择题.
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．（﹣4）3的立方根是﹣4
C．无理数都是无限小数 D．的平方根是
2．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．和为180°的两个角是邻补角
B．一条直线的垂线有且只有一条
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等
3．（3分）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B．m+5＜n+5 C．6m＜6n D．﹣2m＜﹣2n
4．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）
A．3≤a＜3.5 B．3＜a≤3.5 C．3＜a＜3.5 D．3≤a≤3.5
5．（3分）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠MNP＝45°．下列结论：
①GE∥MP；
②∠EFN＝150°；
③∠BEF＝75°；
④∠AEG＝∠PMN．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
7．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OG⊥CD，∠CDO＝50°；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°（ ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
11．（3分）2020年11月1日零时，我国开展第七次全国人口普查.2021年5月11日，国务院新闻办公室公布普查结果，绘制的我国每10万人中拥有大学文化（指大专及以上）程度人数的折线图．设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x（ ）
A．（1+0.9）x＝1.55 B．0.9（1+x）×10＝1.55
C．0.9（1+x）＝1.55 D．0.9（1+x）10＝1.55
12．（3分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙；当购物车内选择2件甲，3件乙，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知点P（3a﹣6，1﹣a）在x轴上，则点P的坐标为 ．
14．（3分）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 ．
15．（3分）如图，已知AB∥EF，若α＝∠A+∠F，则α与β之间的数量关系为 ．
16．（3分）已知：y＝，当a，b取不同的值时，当y最小时，ba的算术平方根为 ．
17．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
三、解答题（共46分）
18．（8分）解不等式（组）：
（1）
（2）
19．（8分）如图，将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度1B1C1．
（1）画出三角形A1B1C1，并写出A1B1C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），则a＝ ，b＝ ；
（3）求三角形ABC的面积．
20．（10分）已知x，y满足方程组且x+y＜0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简．
21．（10分）如图1，已知直线AB、CD分别与直线EF相交于M、N两点，∠BME＝50°
（1）请添加一个条件，使直线AB∥CD，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠MND的平分线交AB于点G
22．（10分）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），∠DCM之间的数量关系．
2023-2024学年四川省绵阳市涪城区八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.
1．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B．（﹣4）3的立方根是﹣4
C．无理数都是无限小数 D．的平方根是
【分析】根据算术平方根、立方根、平方根和无理数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．5是25的算术平方根；
B．∵（﹣4）2＝﹣64，
∴（﹣4）3的立方根是﹣8，故本选项不符合题意；
C．无限小数包括无限不循环小数和无限循环小数，无限循环小数是有理数；
D．的平方根是；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义等知识点，能熟记算术平方根、立方根的、平方根和无理数的定义是解此题的关键．
2．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．和为180°的两个角是邻补角
B．一条直线的垂线有且只有一条
C．点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D．两条直线被第三条直线所截，如内错角相等，则同位角必相等
【分析】利用邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、和为180°的两个角不一定是邻补角，为假命题；
B、一条直线有无数条垂线，为假命题；
C、点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，为假命题；
D、两条直线被第三条直线所截，则同位角必相等，为真命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大．
3．（3分）若m＞n，则下列各式中正确的是（ ）
A．m﹣5＜n﹣5 B．m+5＜n+5 C．6m＜6n D．﹣2m＜﹣2n
【分析】直接利用不等式的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．∵m＞n，
∴m﹣5＞n﹣5，原变形错误；
B．∵m＞n，
∴m+5＞n+5，原变形错误；
C．∵m＞n，
∴6m＞3n，原变形错误；
D．∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，原变形正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
4．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（ ）
A．3≤a＜3.5 B．3＜a≤3.5 C．3＜a＜3.5 D．3≤a≤3.5
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞8，得x＞2，
∴不等式组的解集为2＜x≤7a﹣1，
∵不等式组整数解共有三个，
∴不等式组的整数解为3、8、5，
∴5≤8a﹣1＜6，
则2≤a＜3.5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（3分）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠MNP＝45°．下列结论：
①GE∥MP；
②∠EFN＝150°；
③∠BEF＝75°；
④∠AEG＝∠PMN．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②由题意可得∠EFG＝30°，利用邻补角即可求∠EFN＝150°；
③过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF＝75°；
④利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断．
【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②由题意得∠EFG＝30°，
∴EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，故②正确；
③过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故③正确；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，
∵∠MNP＝45°，
∴∠AEG＝∠PNM，故④正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
6．（3分）2021年3月12日北京市统计局发布了《北京市2020年国民经济和社会发展统计公报》，其中列举了2020年北京市居民人均可支配收入．下面是小明同学根据2016﹣2020年北京市居民人均可支配收入绘制的统计图．
根据统计图提供的信息，下面四个判断中合理的是（ ）
A．2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了16004元
B．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入有增有降
C．2017年北京市居民人均可支配收入的增长率约为8.9%
D．2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长率最大的年份是2020
【分析】根据统计图中给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2020年北京市居民人均可支配收入比2016年增加了69434﹣52530＝16904（元），故本选项不合题意；
B、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入逐年增长，故本选项不合题意；
C、2017年北京市居民人均可支配收入的增长率，正确；
D、2017﹣2020年北京市居民人均可支配收入增长幅度最大的年份是2019年，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．
7．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCN＝（180°﹣∠BCD）＝55°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x＜2x+6，得：x＜2，
解不等式﹣x≤1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜6，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（3分）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OG⊥CD，∠CDO＝50°；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°，其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的性质可得OG⊥AB；由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度数，得到OF平分∠BOD；由CD∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，∠AOE的度数；又由OG⊥CD，即可求得∠GOE与∠DOF的度数．
【解答】解：∵OG⊥CD，CD∥AB，
∴OG⊥AB，
故①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠BOF＝90°﹣∠AOE＝25°，
∵∠BOD＝50°，
∴OF平分∠BOD；
故②正确；
∵CD∥AB，
∴∠BOD＝∠CDO＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝65°；
故③正确；
∵OG⊥AB，
∴∠GOE＝90°﹣∠AOE＝25°，
∵∠DOF＝∠BOD＝25°，
∴∠GOE＝∠DOF；
故④正确．
故正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°（ ）
A．120° B．108° C．126° D．114°
【分析】设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x﹣18°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，于是利用平角定义可计算出x＝66°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝114°，所以∠AEF＝114°．
【解答】解：如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE﹣∠CFE＝x﹣18°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x﹣18°，
而∠B′FE+∠BFE+∠C′FE＝180°，
∴x+x+x﹣18°＝180°，
解得x＝66°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°﹣∠B′FE＝180°﹣66°＝114°，
∴∠AEF＝114°．
故选：D．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
11．（3分）2020年11月1日零时，我国开展第七次全国人口普查.2021年5月11日，国务院新闻办公室公布普查结果，绘制的我国每10万人中拥有大学文化（指大专及以上）程度人数的折线图．设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x（ ）
A．（1+0.9）x＝1.55 B．0.9（1+x）×10＝1.55
C．0.9（1+x）＝1.55 D．0.9（1+x）10＝1.55
【分析】从折线图中找到2010年和2020年的数据，然后列出方程即可．
【解答】解：设2020年每10万人中拥有大学文化程度的人数与2010年相比的增长率为x，
根据题意得：0.9（2+x）＝1.55，
故选：C．
【点评】考查了统计图的知识，解题的关键是了解增长了10年该表示为0.9（1+x）10＝1.55，难度不大．
12．（3分）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙；当购物车内选择2件甲，3件乙，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元，
根据题意得：，
①+②得：6x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴4x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）已知点P（3a﹣6，1﹣a）在x轴上，则点P的坐标为 （﹣3，0） ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：∵点P（3a﹣6，7﹣a）在x轴上，
∴1﹣a＝0，
解得a＝6，
∴3a﹣6＝8×1﹣6＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，0）．
故答案为：（﹣7，0）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
14．（3分）如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 2 ．
【分析】由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，求出A′，B′的坐标可得结论．
【解答】解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，
∵A（﹣1，8），2），
∴A′（2，﹣3），1），
∴a＝﹣1，b＝7，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．（3分）如图，已知AB∥EF，若α＝∠A+∠F，则α与β之间的数量关系为 β＝3α ．
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，得到CM∥DN∥FE，由平行线的性质推出∠A+∠F＝180°，∠B+∠MCB＝180°，∠MCD+∠NDC＝180°，∠EDN+∠DEF＝180°，得到∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝180°×3，即可得到答案．
【解答】解：过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴CM∥DN∥FE，
∴∠A+∠F＝180°，∠B+∠MCB＝180°，∠EDN+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠MCB+∠MCD+∠NDC+∠EDN+∠DEF＝180°×3，
∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝180°×3，
∵α＝∠A+∠F，β＝∠B+∠BCD+∠CDE+∠E，
∴β＝4α．
故答案为：β＝3α．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CM∥AB，过D作DN∥AB，得到CM∥DN∥FE，由平行线的性质即可解决问题．
16．（3分）已知：y＝，当a，b取不同的值时，当y最小时，ba的算术平方根为 1 ．
【分析】结合已知条件，根据二次根式的非负性确定a，b的值，然后求得ba的算术平方根即可．
【解答】解：已知y＝+，
∵≥0，，
∴当a﹣2＝3，3（b+1）＝5时，
则a＝2，b＝﹣1，
那么ba＝（﹣8）2＝1，
则ba的算术平方根为4，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的非负性及算术平方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
17．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
三、解答题（共46分）
18．（8分）解不等式（组）：
（1）
（2）
【分析】（1）整理成一般式，再利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①×2﹣②×2，可得﹣30x＝﹣50，
解得x＝，
把x＝代入③+7y＝﹣4，
解得y＝﹣，
∴原方程组的解是．
（2）解不等式①得x＜5，
解不等式②得x＞﹣4，
故不等式组的解集是﹣4＜x＜6．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度1B1C1．
（1）画出三角形A1B1C1，并写出A1B1C1的坐标；
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对应点P1的坐标为（﹣2，﹣2），则a＝ 1 ，b＝ 2 ；
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．
（2）利用平移规律，构建方程组即可解决问题．
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）△A1B1C8．如图所示．A1（﹣4，﹣2），B1（2，﹣7），C1（﹣1，8）；
（2）平移后点P的对应点P1（a﹣3．b﹣6），
∵P1（﹣2，﹣3），
∴，
解得．
故答案为：1，2；
（3）S△ABC＝2×6﹣×6×1﹣×4×3＝10.3．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．
20．（10分）已知x，y满足方程组且x+y＜0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简．
【分析】（1）把m看作已知数表示出x与y；
（2）把表示出的x与y代入不等式计算即可求出m的范围；
（3）根据m的范围，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1），
①+②×3得5x＝15m+10，
解得x＝7m+2，
把x＝3m+3代入②得：3m+2﹣y＝2m+1，
解得y＝1﹣m，
则方程组的解为；
（2）∵x+y＜2，
∴3m+2+7﹣m＜0，
解得m＜﹣；
（3）∵m＜﹣，
∴m+＜0，2，
则原式＝﹣m﹣﹣2．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（10分）如图1，已知直线AB、CD分别与直线EF相交于M、N两点，∠BME＝50°
（1）请添加一个条件，使直线AB∥CD，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠MND的平分线交AB于点G
【分析】（1）可以添加：∠DNE＝50°．利用同位角相等两直线平行即可证明．
（2）利用平行线的性质求出∠AGN即可．
【解答】解：（1）可以添加：∠DNE＝50°．
理由：如图1中，∵∠BME＝50°，
∴∠BME＝∠DNE，
∴AB∥CD．
（2）∵∠DNE＝50°，NG平分∠DNE，
∴∠DNG＝∠DNE＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠BGN+∠DNG＝180°，
∴∠BGN＝180°﹣25°＝155°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）（1）已知AB∥CD，点M为平面内一点．如图1，BM⊥CM，很容易说明∠ABM和∠DCM互余．请你帮小颖写出具体的思考过程；
（2）如图2，AB∥CD，点M在射线ED上运动，试判断∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系；
（3）在（2）的条件下，当点M在射线ED上的其他地方运动时（点M与E，A，D三点不重合），∠DCM之间的数量关系．
【分析】（1）过M作MP∥AB，根据平行线的性质可得∠PMC＝∠MCD，再根据BM⊥CM，可得∠BMP+∠PMC＝90°，进一步得到∠ABM+∠MCD＝90°，可得∠ABM和∠DCM互余；
（2）过M作MF∥AB，交BC于F，根据平行线的性质可得∠DCM＝∠FMC，可得∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）分两种情况：当点M在E、A两点之间时；当点M在AD的延长线上时；进行讨论可求∠BMC与∠ABM，∠DCM的数量关系．
【解答】解：（1）如图1，过M作MP∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠PMC＝∠MCD，
又∵BM⊥CM，
∴∠BMP+∠PMC＝90°，
∴∠ABM+∠MCD＝90°，
∴∠ABM和∠DCM互余；
（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：
如图2，过M作MF∥AB，则∠ABM＝∠BMF，
又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM＝∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；
（3）当点M在E、A两点之间时，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；
当点M在AD的延长线上时，如图4．
【点评】考查了平行线的判定和性质，余角和补角，垂线，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
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