2022-2023学年江西省部分学校高一下学期5月月考模拟数学试题含答案

2022-2023学年江西省部分学校高一下学期5月月考模拟数学试题

一、单选题

1．下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则

C．对任一向量，总是成立的 D．

【答案】D

【分析】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例，即可判断；D，根据即可判断.

【详解】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误；

对于B，当时，与可以不平行，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：D

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案.

【详解】由题意可得,

故选：D

3．已知，是两个不平行的向量，若向量与向量平行，则实数t等于（    ）

A．－ B．－1 C．0 D．－2

【答案】A

【分析】由平面向量共线定理求解．

【详解】向量与向量平行,则存在实数,使得,

即，又，是两个不平行的向量，

所以，解得，

故选：A．

4．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则实数的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】确定，则，根据共线得到，解得答案.

【详解】，

，

三点共线，故，解得.

故选：C

5．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果.

【详解】设，则，

是的中点，

，

当时，取得最小值.

故选：B.

6．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为（    ）米

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设铁塔的高度为，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．

【详解】设铁塔的高度为米，

由题意可得：，

在中，由余弦定理，

即，解得.

故选：A.

7．已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用共轭复数的定义即可判定.

【详解】因为，所以，所以对应的点（－1，－2）位于第三象限．

故选：C

8．设复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】计算，再计算得到答案.

【详解】，则，故.

故选：D.

二、多选题

9．在中，，，分别是，，的中线且交于点，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.

【详解】依题意，如图所示：

因为，，分别是，，的中线且交于点，

所以是的重心.

对于A：若，则，因为，

所以，显然不成立，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：

，故C正确；

对于D：

，故D正确.

故选：BCD.

10．下列说法正确的是（   ）

A．向量，能作为平面内所有向量的一组基底

B．已知中，点P为边AB的中点，则必有

C．若，则P是的垂心

D．若G是的重心，则点G满足条件

【答案】BC

【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对B，根据基底向量的运用判断即可；对C，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D，由重心可得，即可判断

【详解】对A，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；

对B，根据平面向量基本定理可得中，点P为边AB的中点，则必有，故B正确；

对C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正确；

对D，若G是的重心，则点G满足条件，则，故D错误；

故选：BC

11．甘肃省庆阳市南佐遗址是国家重点文物保护单位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遗址，为黄河流域文明起源和发展提供了重要的实物资料，经国家文物局批准，2021年、2022年进行了第三阶段的考古发掘工作.如图，为该次出土的一块三角形瓷器碎片，其一部分破损，为了复原该三角形陶片，现测得如下数据：BC=7cm，AB=5cm，A= ，则：（      ）

A．陶片破损的边AC长为8cm B．陶片面积为cm2

C．陶片外接圆面积cm2 D．陶片的形状为直角三角形

【答案】ABC

【分析】利用已知条件，通过正弦定理，余弦定理可分别求出的值，从而可对各选项逐项分析判断即可得出答案.

【详解】由题意可得，BC=7cm，AB=5cm，A= ，在三角形中，,

由正弦定理可得，，即，

又为锐角，，

，

，

由正弦定理可得，,即;故A正确；

，陶片外接圆面积为,故C正确；

陶片面积为，故B正确；

，陶片的形状不是直角三角形，故D错误；

故选：ABC.

12．若，是方程的两个虚数根，则（    ）

A．的取值范围为 B．的共轭复数是

C． D．为纯虚数

【答案】BCD

【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，

【详解】由，得，A错误；

因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；

，C正确；

因为等于或，所以为纯虚数，D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知，，，则等于        ．

【答案】

【分析】利用向量加法的平行四边形法则，几何法求向量的模.

【详解】如图，由，∴四边形OACB为菱形．

连接OC、AB，则，设垂足为D．

∵ ，，∴在中， ．

∴

故答案为：

14．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数         ．

【答案】或

【分析】根据向量共线运算求解.

【详解】因为与是两个不共线的向量，

若三点共线，则，即，

可得，解得或.

故答案为：或.

15．设复数满足条件，那么的最大值为     ．

【答案】

【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.

【详解】因为，则，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为.

故答案为：.

16．设是虚数单位，复数，则      .

【答案】5

【分析】根据复数的乘法运算及共轭复数的概念，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】因为，所以，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数，复数在复平面内对应的向量为，

(1)若为纯虚数，求的值；

(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得a的值；

（2）计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得a的取值范围.

【详解】（1）由题，则，

由为纯虚数得，，

解得．

（2），

在复平面内的对应点在第四象限，则，即，

解得．

18．设复数，m为实数．

(1)当m为何值时，z是纯虚数;

(2)若，求的值;

(3)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

【答案】(1)5

(2)

(3)

【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解；

（2）根据复数的模长公式运算求解；

（3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解.

【详解】（1）若z是纯虚数，则，解得，

所以当时，z是纯虚数.

（2）若，则，

所以.

（3）因为复数，对应的点为，

若复数在复平面内对应的点在第三象限，

则，解得，

故实数m的取值范围为.

19．已知向量，.

(1)求向量，的夹角的余弦值；

(2)求；

(3)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？

【答案】(1)

(2)

(3)，反向

【分析】（1）根据数量积的坐标表示求出，，，再由夹角公式计算可得；

（2）求出的坐标，即可求出其模；

（3）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】（1）因为，，

所以，，，

所以

（2）因为，，所以，

所以

（3）依题意，，由（1）知，

由，解得，

于是当时，与共线，且，即有与方向相反，

所以当时，与共线，并且它们反向共线.

20．如图所示，在中，点D是边BC的中点，点E是线段AD靠近A的三等分点.过点E的直线与边AB，AC分别交于点P，Q.设，，其中，.

(1)试用与表示，；

(2)求证：为定值，并求此定值.

【答案】(1)，.

(2)证明见解析；定值为.

【分析】（1）根据向量的平行四边形法则和三角形法则，即可求解；

（2）由题意求得，结合三点共线，得到，即可求解.

【详解】（1）解：因为点为的中点，

由向量的平行四边形法则，可得，

在中，由向量的三角形法则，可得.

（2）证明：在中，点为的中点，且点为靠近的三等分点，

且

所以,

因为三点共线，所以，解得，

即为定值.

21．在中，为的中点，在上取点，使，与交于，设.

(1)用表示向量及向量；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的加减运算，用表示向量及向量；

（2），由三点共线知，可得的值.

【详解】（1）是的中点，，则

，

.

（2），

由三点共线知，所以.

22．老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．

(1)若，求护栏的长度即的周长；

(2)若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意结合余弦定理可得，进而可得，即可得结果；

（2）由题意可得，在、中结合正弦定理运算求解.

【详解】（1）在Rt中，因为，可得，

在中，由余弦定理，

所以，

可得，则，

可得，

所以护栏的长度即的周长.

（2）由题意可得：，设，则，

在，由正弦定理，整理得，

在，由正弦定理，整理得，

则，整理得，

而，故，即.