2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年广东省湛江市雷州市第一中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解.

【详解】由集合，因为，所以．

故选：B．

2．已知点是第三象限的点，则的终边位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】由三角函数在各个象限的符号即可求解.

【详解】∵点是第三象限的点，∴，，

由可得，的终边位于第二象限或第三象限或x轴的非正半轴；

由可得，的终边位于第一象限或第三象限，

综上所述，的终边位于第三象限．

故选:C

3．若向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，，

因为，可得，解得．

故选：C．

4．若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（    ）

A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交

【答案】D

【解析】通过反证法的思想，可以判断出选项正误.

【详解】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a， b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交，

故选：D

5．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解.

【详解】如图所示，可得，

所以.

故选：D．

6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（　　）

A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB

C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角

【答案】D

【分析】由正方体的性质及异面直线的概念依次验证选项即可.

【详解】A项，如下图在正方体中，，在等腰直角中，与成角，故A项错误；

B项，，故B项错误；

C项，因为，在中，为与CD所成的角，令正方体的棱长为1，则，，，即与CD所成的角不是，故C项错误；

D项，如下图，连接，则，为与所成的角，在中，，即为等边三角形，所以，，即与成角，故D项正确.

故选D.

【点睛】本题主要考查正方体中各直线间的位置关系，属于中档题.

7．已知一个圆柱的轴截面为正方形，且它的侧面积为，则该圆柱的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设圆柱底面半径为R，高为h，由题意列方程组求出R、h，即可求出圆柱的体积.

【详解】设圆柱底面半径为R，高为h，

设，解得，

∴圆柱的体积为．

故选：D

8．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这只船的速度是每小时（    ）

A．5海里 B．海里 C．10海里 D．海里

【答案】C

【分析】画出示意图，在直角中，求得，进而求得这艘船的速度.

【详解】如图所示，由题意知，所以,

可得，

在直角中，，

所以这艘船的速度为（海里/小时）.

故选：C.

二、多选题

9．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在定义域内为减函数

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】将点代入函数得到，利用函数奇偶性的定义可判断A，举反例可判断BD，利用作差法可判断D.

【详解】因为图象经过点，

所以，即，则，

对于A，易得的定义域为，关于原点对称，

又，所以为奇函数，故A正确；

对于B，，函数不是减函数，故B错误；

对于C，因为，

所以，即，故C正确.

对于D，，故D错误；

故选：AC.

10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则z在复平面内对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足，则复数z对应点的集合是以O为圆心，以2为半径的圆

【答案】AD

【分析】根据复数的概念，运算，几何意义，判断选项.

【详解】A. ，故A正确；

B.虚数不能比较大小，故B错误；

C. ，则z在复平面内对应的点为，在第三象限，故C错误；

D.根据复数模的几何意义，可知D正确.

故选：AD

11．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，A为点，下列说法不正确的是（    ）

A．

B．为异面直线

C．

D．

【答案】ABD

【分析】ABD可举出反例，C选项，先得到在平面内存在直线，使得，所以，利用线面平行的判定定理得到答案.

【详解】对于A：若，则与平行或异面，故A说法错误；

对于B：若，则与可能相交，故B说法错误；

对于C：若，则在平面内存在直线，使得，所以，又，，所以，故C说法正确；

对于D：若，则与平行或异面，故D说法错误；

故选：ABD

12．关于平面向量，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则在方向上的投影向量是

C．若，，且与的夹角为钝角，则

D．若且，则四边形ABCD为菱形

【答案】BD

【分析】根据向量共线的概念判断A；根据投影向量的概念判断B；根据向量夹角的概念判断C；由向量的线性运算得，可得是平行四边形，则，由条件结合平面向量基本定理可判断D．

【详解】若，虽然有，，但不一定有，A错；

，，则在方向上的投影向量是，B正确；

当时，，两向量方向相反，夹角为不是钝角，C错；

若，即，则，

所以是平行四边形，则，

又，即，则，

所以，所以是菱形，D正确．

故选：BD．

三、填空题

13．若，则         .

【答案】/-1.5

【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.

【详解】由题意得.

故答案为：

14．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为      .

【答案】

【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．

【详解】由题意，设母线长为，

∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有，解得，

∴该圆锥的母线长为.

故答案为：.

15．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①  ②与成  ③与是异面直线  ④，其中正确的是         ．

【答案】①③

【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.

【详解】还原正方体如下图示：

由正方体性质知：//且有,故①正确，②错误.

③,由图知：与是异面直线，故正确.

④,由正方体的性质知：,故错误.

故答案为：①③.

16．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是          ．

【答案】

【分析】由题意结合正弦定理及三角恒等变换即可得解.

【详解】由题意，b不为最大边，也不为最小边，不妨设a为最大边，c为最小边，

由题意有，即，

整理得，.

故答案为:

四、解答题

17．化简下列各式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用诱导公式化简；

（2）根据指对幂运算规则计算.

【详解】（1）

；

（2）

=4.

18．已知，，．

(1)若，求的值；

(2)若，且，，三点共线，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】（1）因为，，所以，

因为，所以，解得.

（2）因为，，

因为，，三点共线，所以，所以，解得，

故的值为．

19．已知三个内角、、的对边分别是、、，，.

（1）证明：.

（2）若的面积是，求的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理边角互化可得出，再结合可证得结论成立；

（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求得、的值，再利用余弦定理可求得的值.

【详解】（1）证明：因为，所以，所以.

即；

（2）因为，即，所以.

又由（1）知，所以，解得，所以，

由余弦定理知，所以.

20．如图，在正方体中，点E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，从正方体中截去三棱锥后，求剩下的几何体的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；

（2）由等积法求出三棱锥的体积，即可求解

【详解】（1）连接，交于点，连接，

因为分别为的中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为，

,

所以从正方体中截去三棱锥后，剩下的几何体的体积

21．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2.求该组合体的表面积与体积.

【答案】表面积为，体积为

【分析】先求圆柱的侧面积,圆锥的侧面积，圆柱的底面积相加即为几何体的表面积，体积为圆柱体积减去圆锥体积即可．

【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于.圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，

所以组合体的表面积为.

体积为.

22．已知函数.

(1)证明：函数在上单调递增；

(2)讨论关于x的方程的实数解的个数.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）根据单调性的定义分析证明；

（2）原题意等价于函数与常函数的交点个数，作出函数的图象，数形结合处理问题.

【详解】（1）任取，

则，

令，且，

则，，

所以，即，

故函数在上单调递增.

（2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，

由（1）可得：，

令，且，

则，，

所以，即，

故函数在上单调递减，

结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，

令，且，整理得，解得或，

故函数的图象如图所示：

可得函数的图象如图所示：

对于函数与常函数的交点个数，

则有：当时，交点个数为0个；

当或时，交点个数为2个；

当时，交点个数为3个；

当时，交点个数为4个.