2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高一下学期5月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省晋中市平遥县第二中学校高一下学期5月月考数学试题 一、单选题1．设是虚数单位，则复数A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：因为，故选D.【解析】复数的运算.2．为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数法抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据:8242175331　5724550688　7704744767　2176335025　83921206766301637859　1695566719　9810507175　1286735807　44395238793321123429　7864560782　5242074438　1551001342　9966027954若从表中第7行第4列开始向右依次读取，则抽出第4台取暖器的编号为（    ）A．217 B．206 C．245 D．212【答案】B【分析】从第7行的第4列开始向右3个数3个数的读取，大于500的剔除，不大于500的留下（前面出现过的也去除）即可得．【详解】由题意，利用随机数法从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206.故选：B.【点睛】本题考查随机数表抽样法，解题关键是能正确地从随机数表中读取数据．3．某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生A．630 B．615 C．600 D．570【答案】D【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.【详解】高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：.故选：D.【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.4．已知，两点，且，则点P的坐标（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据已知，利用向量的线性运算计算求解.【详解】设，由题可知，，，因为，所以，解得 ，故A，B，D错误.故选：C.5．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②（    ）  A．①和②都不成立 B．①成立，但②不一定成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立【答案】B【分析】利用线面平行的性质以及勾股定理即可得到结论.【详解】由，平面，平面，∴ 平面，又平面，且平面平面，∴ ，故①对；如图，取中点，连接，  由，易知四边形为平行四边形，则，,不妨设，在矩形中，,假设，则，又为正三角形，即满足，即，但的长度不定，故假设不一定成立.即②不一定成立.故选：B6．已知点O是边长为2的正三角形ABC的重心，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正三角形性质和圆的性质可得及，然后由数量积定义可得.【详解】记的中点为D，因为，由正三角形性质可知，，因为，O为的外接圆圆心，所以，所以.故选：B    7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，则是异面直线D．若，，，则【答案】A【解析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.对于B，若，，则或，故B错误.对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.8．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】易得，再由，得到，然后利用直角三角形中线定理得到的中点为球的球心求解    .【详解】如图所示：由，，可知.因为，，所以，即.设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为.故选：D【点晴】判断是解题的关键. 二、多选题9．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由余弦定理得，分类讨论可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，由余弦定理可解得，，根据三角形的面积公式即可得解．【详解】在中，，由余弦定理得：，整理得：，或，或为直角（舍去），，，，，由余弦定理可得，解得或，∴当时，当时，．故选：AC【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．已知向量，，则（    ）A． B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为 D．若，则【答案】BCD【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；设向量在向量上的投影向量为，根据题意得出，求出的值，可判断B选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断C选项的正误；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，与不共线，A选项错误；对于B选项，设向量在向量上的投影向量为，则，即，解得，故向量在向量上的投影向量为，B选项正确；对于C选项，，，C选项正确；对于D选项，若，则，所以，，D选项正确.故选：BCD.11．如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ）  A．四点共面 B．直线与所成角的为C．平面 D．平面平面【答案】BD【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系、异面直线所成角的定义，逐一分析判断即可.【详解】对于A：在长方体中，在平面内，为的中点，平面，则为平面外一点，故不共面，故A错误；对于B：如图，取中点，连接，，  可得，则为直线与所成角，在长方体中，由，易得为边长为的正三角形，故，故B正确；对于C：若平面，又平面，则平面平面，而平面平面，故矛盾，故C错误；对于D：在长方体中，平面，平面，所以，平面平面，故D正确.故选：BD12．空气质量指数AQI是反映空气状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：AQI指数0～5051～100101～150151～200201～300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日～20日AQI指数变化趋势，则下列叙述正确的是（    ）A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的好【答案】ABD【分析】A：从小到大排列这20天的数据，中位数为第10个暑假和第11个暑假的平均数；B：数出中度污染及以上的天数再除以总数20即可；C：由图分析即可；D：根据图像分析即可.【详解】A项，由题图知排序后第10个数据为9日的、第11个数据为16日的，这两个数据平均数大于100，即中位数略高于100，故A正确；B项，中度污染及以上的天数为5天，占，故B正确；由题图知C错误；D项，总体来说，该市10月上旬的AQI较中旬的底，故空气质量比中旬的空气质量好，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．已知单位向量，的夹角为，与垂直，则实数        .【答案】【解析】由题可得，根据与垂直，可得，即可求得.【详解】 ，是单位向量，，，与垂直，，解得.故答案为：.14．若复数z满足，则的最小值是       .【答案】1【分析】由可得，则，根据可得的最小值.【详解】设，， ，，则，，当时，.故答案为：1.15．某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的分位数是      .    【答案】8.5/【分析】先把这10名同学的得分从小到大排序，然后根据求百分位数的方法求解即可.【详解】由题图知，这10名同学的得分为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，因为，所以分位数为第8与第9个数据的平均数，即为.故答案为：8.5.16．在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则            .【答案】【分析】取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.【详解】取的中点，连接，则因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面,所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以,在直角中，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题. 四、解答题17．已知非零向量与满足，且(1)若，求向量的夹角.(2)在（1）的条件下，求的值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根据和，得到，再利用向量的夹角公式求解；（2）根据（1）的结果，利用向量的模公式求解.【详解】（1）解：因为，所以，又，，所以，，因为，所以；（2），18．某制造商为运动会生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径（单位：mm，保留两位小数）如下：40.02        40.00        39.98        40.00        39.9940.00        39.98        40.01        39.98        39.9940.00        39.99        39.95        40.01        40.0239.98        40.00        39.99        40.00        39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组频数频率            合计     (2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品，若这批乒乓球的总数为10000只，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格只数.【答案】(1)图表见详解(2)9000 【分析】(1)根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.(2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.【详解】（1）频率分布表如下：分组频数频率 20.10540.2010100.502540.2010合计201.0050频率分布直方图、频率分布折线图如图所示．  （2）因为抽样的20只产品中在范围内的有18只，所以合格率为．所以根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格只数为9000．19．为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：30    35    42    33     34    36    34    37     29    40（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)【答案】（1）平均成绩：，标准差：；（2）次数位于与之间的有6位同学，.【分析】（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；（2）先求，，再确定位于与之间学生人数，最后求百分比.【详解】（1）10名学生的平均成绩为：. 方差：，即标准差.（2），，所以次数位于与之间的有6位同学，所占的百分比是.【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础题.20．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）设中点为，连接､，利用线面平行的判定定理，可证平面，根据题意可得，且，所以四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，可证平面，利用面面平行的判定定理，可证平面平面，又平面，即可得证.（2）根据题意结合线面垂直的判定、性质定理，可证、、都为直角三角形，代入数据即可求得其面积，根据PA=PB，设等腰中，AB边上的高为h，即可求得h，进而可求得的面积，即可求得答案.【详解】（1）证明：设中点为，连接､∵为的中点∴，又∵平面，平面∴平面又∵，，，∴，且，∴四边形为平行四边形∴，又∵平面，平面∴平面又∵，平面，平面∴平面平面又∵平面∴平面（2）∵，∴又∵平面，∴又∵，平面，平面∴平面∴∴、、都为直角三角形∵，，，，∴，，，，∴，，，设等腰中，AB边上的高为h，则,∴∴∴四棱锥的侧面积为21．在中，内角A、B、C对应的边长分别为，且满足.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得，根据余弦定理，可得，根据基本不等式，即可求得的最大值.【详解】（1）由题意得，正弦定理边化角得：，所以，所以，又，所以，所以，又因为，所以，所以.（2）由（1）可得，由余弦定理得，所以，由基本不等式可得，所以，解得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.22．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA=AB=2，PB=，∠ABC=60°，且平面PAC⊥平面ABCD.(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M-BCD的体积.【答案】(1)证明见解析.(2). 【分析】（1）由面面垂直的性质和线面垂直的性质证得PA⊥BD，根据平面几何知识证得PA⊥AB，由线面垂直的判定定理可得证；（2）由V M-BCD=VP-BCD可求得答案.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAC.∵PA平面PAC，所以PA⊥BD.又∵PA=AB=2，PB=，∴PA2+AB2=PB2，得PA⊥AB.又∵AB，BD平面ABCD，ABBD=B，PA⊥平面ABCD.（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，得ΔPBC为等腰三角形.在△PBC中，由余弦定理得.∵BM⊥PC，∴，则.得CM=PC，又S△BCD=BC·CDsin120°=，∴三棱锥M-BCD的体积V M-BCD=VP-BCD=S△BCD×PA=.