2022-2023学年天津市武清区天和城实验中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年天津市武清区天和城实验中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.

【详解】因为复数，

所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限

故选：B

2．已知一组数据为第百分位数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】直接利用百分位数的定义求解.

【详解】因为有6位数，

所以，

所以第百分位数是第三个数6.

故选：C

3．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高．

【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，

∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，

∴，

又，解得，

因此，此圆锥的高．

故选：C．

4．设样本数据1，3，a，2的平均数为5，则样本的方差为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】B

【分析】由平均数以及方差的计算公式求解.

【详解】由得，则样本的方差为.

故选：B

5．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解.

【详解】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形，

所以.

故选：B.

6．已知事件A，B，且，则下列说法正确的是（    ）

A．若BA那么，

B．若A与B互斥，那么，

C．若A与B相互独立，那么，

D．若A与B相互独立，那么，

【答案】B

【分析】根据事件的包含关系、相互独立､互斥事件概率计算方法计算即可.

【详解】对于A，如果，那么，，故 A错误；

对于B，如果A与互斥，那么，，故 B正确；

对于C，如果A与相互独立，那么，，故C错误；

对于D，如果A与相互独立，那么，故 D错误；

故选：B

7．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验，将所有学生的数学成绩分组如下：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

①成绩不低于120分的学生人数为440；②这800名学生中数学成绩的众数为125；③这800名学生数学成绩的中位数的近似值为121.4；④这800名学生数学成绩的平均数为120.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】先由频率分布直方图求出的值，从而可求出成绩不低于120分的学生人数，平均数和中位数，然后进行判断即可

【详解】解：由题意得，解得，

所以成绩不低于120分的学生人数为，所以①正确；

由频率直方图可知分在[120，130)中最多，所以众数为，所以②正确；

这800名学生数学成绩的中位数为，所以③正确；

这800名学生数学成绩的平均数为

，所以④正确，

故选：D

【点睛】此题考查频率分布直方图的应用，考查由频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查运算能力，属于基础题

8．如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为

A． B． C．12 D．

【答案】A

【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.

【详解】底面，则，，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，

故选A

【点睛】本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.

9．如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】D

【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】

建立如图示坐标系，由则有：

因为E为上一点，可设

所以.

因为，所以，即，解得：，所以.

由得：

，解得：，所以.

故选：D

二、填空题

10．是虚数单位，则的值为          .

【答案】

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．

【详解】．

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

11．若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为        .

【答案】

【分析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.

【详解】由已知得正方体的棱长为，

又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，

所以正方体的外接球的半径，

所以外接球的表面积，

故得解.

【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.

12．一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，， ，则=          .

【答案】

【分析】根据古典概型的概率公式能求出结果.

【详解】;

故答案为：.

13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为         ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为         ．

【答案】         

【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.

【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子的概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

14．已知圆柱的高为6，它的两个底面的圆周在半径为5的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为          .

【答案】

【分析】画图分析可得, 先求得圆柱的底面半径, 进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.

【详解】      

如图所示，外接球的体积 ,

根据对称性可知，圆柱的底面半径 ，所以圆柱体积 .

故球的体积与圆柱的体积的比值为 .

故答案为：.

15．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，，，F分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是   ．

【答案】

【分析】连结BF，则异面直线与所成角为∠AFB，在直角三角形ABF中，解三角形即可.

【详解】

连结BF，在三棱柱中，因为，F分别是，的中点，

所以∥,则∠AFB（或其补角）即为异面直线与所成角.

在三棱柱中,因为侧棱垂直于底面，即,所以.

又，且,所以平面，而平面平面，

所以

不妨设AB=2,

在直角三角形ABF中，AB=2,

所以异面直线与所成角的余弦值为：.

故答案为：

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

三、解答题

16．已知向量，

(1)向量在向量上的投影向量的坐标；

(2)求

(3)若与垂直，求实数的值.

【答案】(1)

(2)8

(3)19

【分析】（1）由投影向量的计算公式求解即可；

（2）由模长公式计算即可；

（3）由向量垂直的性质求出实数的值.

【详解】（1）.

（2）因为，所以.

（3），    

，     

因为与垂直，所以，

得，

解得，即当时，与垂直.

17．已知复数，当取何实数值时，复数z是：

(1)纯虚数；

(2)；

(3)z对应的点位于复平面的第四象限

【答案】(1)0；

(2)2；

(3)0.

【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算作答.

（2）利用复数相等，列式求解作答.

（3）利用复数对应点的位置，列出不等式求解作答.

【详解】（1）若复数是纯虚数，则，解得，

所以当时，复数z是纯虚数.

（2）依题意，，解得，

所以当时，.

（3）依题意， ，解得0，

所以当时，z对应的点位于复平面的第四象限.

18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．

(1)求b的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理可得，从而可得，进而根据余弦定理即可求解；

（2）先计算,再结合倍角公式和差角余弦公式即可求解.

【详解】（1）在中，由可得，又由，

可得，

，.

又，故，

根据余弦定理可得，可得.

（2），，

，，

所以.

19．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为120，80，40.现采用分层抽样的方法从中抽取6名同学去某敬老院参加献爱心活动.

（1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的6名同学分别用，，，，，表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作；

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设为事件“抽取的2名同学不在同一年级”，求事件发生的概率.

【答案】（1）从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人；（2）（i）答案见解析；（ii）.

【分析】（1）根据分层抽样定义，直接按比例抽取即可得解；

（2）（i）分别列出从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果即可；

（ii）由（i）可得抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的结果，由概率公式即可得解.

【详解】（1）由已知，甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶1，

由于采用分层抽样的方法从中抽取6名同学，

因此应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，1人.

（2）（i）从抽出的6名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

（ii）由（i），不妨设抽出的6名同学中，来自甲年级的是，，，来自乙年级的是，，来自丙年级的是，则从抽出的6名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，，，，共4种.

所以，事件发生的概率为.

20．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.

(1)求证：平面平面PAD；

(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；

(3)求B点到平面EAC的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用两向量的数量积的坐标表示及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；

（2）求出平面EAC与平面ACD的法向量，利用向量的夹角公式及面面角的定义即可求解；

（3）根据（2）得出平面EAC的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解.

【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示

则

所以

所以即,

所以即,

又,平面PAD,所以平面PAD,

又平面，所以平面平面PAD.

（2）设平面的法向量为，则

，即，

令，则，所以，

由题意知，平面，平面ACD的法向量为,

设平面EAC与平面ACD夹角的，则

，

所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.

（3）由（2）知，平面的法向量为，

设B点到平面EAC的距离为，则

，

所以B点到平面EAC的距离为.