2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年四川省成都东部新区养马高级中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．下列几何体中，面的个数最小的是（    ）

A．四面体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台

【答案】A

【分析】根据棱柱棱锥得结构特征逐一判断即可.

【详解】四面体有个面，

四棱锥有个面，

三棱柱有个面，

三棱台有个面，

所以下列几何体中，面的个数最小的是四面体.

故选：A.

2．已知，，则的值为 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角余弦公式可求得的值.

【详解】由题意知，

，

故选：D.

3．在△ABC中，已知角A、B、C所对边长分别为a，b，c，其中a，c为方程的两根，，则△ABC的面积为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据根与系数的关系及三角形的面积公式可求解.

【详解】因为a，c为方程的两根，所以

所以

故选：C

4．一个菱形的边长为4，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出菱形面积，根据直观图和原图面积之间的关系，即可得答案.

【详解】如图，菱形，,

则为正三角形，故,

故菱形面积为,

根据直观图面积与原图面积的关系式,

可得此菱形的直观图的面积为，

故选：C

5．在中，内角的对边分别为，则“”是“是钝角三角形”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，可知充分性成立；通过反例可说明必要性不成立，由此可得结论.

【详解】由得：，

，，即，

，，，，

为钝角三角形，充分性成立；

若为钝角三角形，且为钝角，则，，必要性不成立；

综上所述：“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件.

故选：A.

6．已知，则（    ）

A．－3 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简条件，再利用二倍角公式将目标式化为齐次式，代入正切值可得.

【详解】因为，

所以

.

故选：B.

7．在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（    ）

A． B．3 C． D．4

【答案】C

【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.

【详解】因为，为的中点，，如图，

在中，根据余弦定理可得，，

在中，根据余弦定理可得，，

又因为，所以

故有，得到，即，所以，

故选：C.

8．已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．1

【答案】B

【分析】根据平面向量共线定理推论可得且，再根据结合基本不等式即可得解.

【详解】由，得，

又因为点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，

所以且，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B.

二、多选题

9．以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（    ）

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

【答案】AD

【分析】考虑以钝角三角形的最长边还是较短边为轴旋转，判断得到的几何体形状，可确定A,D，排除B,C.

【详解】以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；

以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B,C；

故选：AD.

10．函数，则以下结论中正确的是（    ）

A．在上单调递减 B．直线 为图象的一条对称轴

C．的最小正周期为 D．在上的值域是

【答案】AC

【分析】化简得到，再根据三角函数的单调性，对称轴和周期值域依次判断每个选项得到答案.

【详解】，

对选项A：在上单调递减，正确；

对选项B：不是图像的对称轴，错误；

对选项C：的最小正周期为，正确；

对选项D：，则，，错误.

故选：AC

11．在平面直角坐标系中，已知点，则（    ）

A．

B．是直角三角形

C．在方向上的投影向量的坐标为

D．与垂直的单位向量的坐标为或

【答案】ABD

【分析】根据向量模的坐标表示求出可判断A；求出向量、以及的模，根据勾股定理逆定理可判断B；根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量可判断C；根据向量垂直的坐标表示求出与垂直的单位向量，判断D.

【详解】因为，所以，A正确

因为，所以，

所以，即为直角三角形，B正确；

设与同向的单位向量为，，

所以在方向上的投影向量为，C错误；

因为，设与垂直的单位向量为，

则，解得或，

故与垂直的单位向量的坐标为或，D正确，

故选：ABD．

12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【分析】设，，，，求出，，，根据正弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设，，，，

则，，，

对于A ，，故A正确；

对于B ，，故B不正确；

对于C，若，则，，，

所以，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若，则，则，则，，，

所以，，

所以外接圆半径为.故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．已知复数z满足，i是虚数单位，则      .

【答案】

【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数即可．

【详解】由，得.

故答案为：.

14．如图是函数的部分图象，则      ．

【答案】

【分析】先根据图象求出函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求出，即可得解.

【详解】由图可知，则，所以，

则，

由，且点在减区间上，

得，所以，

又，所以，

所以，

故.

故答案为：.

15．如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C，在B点处观测到C的方位角为，B点和C点相距25千米．某日两个观测站都观测到了A处出现火情，在B点处观测到A的方位角为．在C点处，观测到A的方位角为，则观测站C与火情A之间的距离为        ．

【答案】千米

【分析】由正弦定理求解即可

【详解】在中，，，

，，

由正弦定理可得，即，

所以（千米），

所以观测站与火情之间的距离为千米

故答案为：千米

16．在中，若，AD是BC边上的高，，则AD的最大值为      ．

【答案】

【分析】先利用余弦定理求出角，再利用基本不等式结合三角形得面积公式求出三角形面积得最大值，再利用等面积法即可得解.

【详解】因为，

所以，

又，所以，

由，得，

所以，当且仅当时，取等号，

又，

所以，即，

所以AD的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量,.

(1)当时,求；

(2)当，，求向量与的夹角.

【答案】(1)或

(2)

【详解】（1）向量,，则，.

由,可得即，即，

解得或,当,则,则,所以，

当，， ，综上    .

（2）由,,则

由,可得,解得,

所以,,

又,所以.

18．已知函数.

（1）求的最小正周期和的单调递减区间；

（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.

【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．

【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；解不等式，可得出函数的单调递减区间；

（2）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.

【详解】（1），

所以，函数的最小正周期为.

由，可得，

函数的对称中心为；

解不等式，解得.

因此，函数的单调递减区间为；

（2）当时，，

当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．

【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．在中，，，，D是边BC上一点，，设，．

(1)试用，表示；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得、，结合平面向量的线性运算即可求解；

（2）根据平面向量数量积的定义求出，结合数量积的运算律计算即可求解.

【详解】（1）∵D是边BC上一点，，

∴，又∵，，得，

∴．

（2）∵，，，

∴，

．

20．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.

(1)求A；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换可得，即可求解；

（2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得.

【详解】（1）由结合正弦定理可得，

因为，所以，

所以，即

因为，所以，

因为，所以；

（2）由正弦定理可得

所以，

因为，所以，所以

21．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留整数）；

(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？

参考数据:.

【答案】(1)

(2)，∠ACB最大

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.

22．已知向量，，设函数的图像关于直线对称，其中，为常数，且，．

(1)求函数的最小正周期；

(2)若的图像经过点，，求函数在区间，上的取值范围．

【答案】(1)

(2)，

【分析】(1)通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用对称轴求出，求解函数的周期．

(2)通过的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．

【详解】（1）向量，，，函数，

所以

，

由直线是图像的一条对称轴，可得，

所以，即．

又，，所以时，．

所以的最小正周期是．

（2）由(1)可知，

若的图像经过点，，则，解得，

所以，

由，得，

所以，

得，

故函数在区间，上的取值范围为，．