2022-2023学年云南省开远市第一中学校高一下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年云南省开远市第一中学校高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．集合，则的子集的个数为（    ）

A．8 B．6 C．5 D．3

【答案】A

【分析】根据题意可知，解不等式可得，根据中的元素个数即可求得结果.

【详解】由题意可得；

，

则中有3个元素，所以其子集个数为个.

故选：A

2．复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.

【详解】,

故的共轭复数为 ，

故选：B

3．如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义，用表示即可.

【详解】由题图，.

故选：A

4．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数、对数的性质以及对数、指数函数的单调性可以比较大小.

【详解】解：由题意得：

故选：D

5．甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（    ）

A．0.26 B．0.72 C．0.74 D．0.98

【答案】D

【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得至少有一人中靶的概率．

【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：，

则至少有一人中靶的概率为：，

故选：D．

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据线面的位置关系可判断A；根据面面平行的性质结合线线位置关系可判断B；根据面面垂直的性质结合线线位置关系可判断C；根据线面垂直的性质及判定判断D.

【详解】对于A，，n可能在平面内，A错误；

对于B，，，则可能有，也可能异面，B错误；

对于C，，，则可能垂直，也可能不垂直，C错误；

对于D，，根据线面垂直的性质可知，D正确，

故选：D

7．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（    ），（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值.

【详解】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，

所以，所以，可得，，

故选：C.

8．已知，则函数的零点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.

【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，

令，则，可得或，如下图示：

由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的是（　　）

A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体

被抽到的概率是0.1

B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32

【答案】AC

【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.

【详解】对于选项,个体被抽到的概率为，故该选项正确；

对于选项，，解得，

则方差为，故该选项错误；

对于选项,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，

由于%，其中第6个数为23，故该选项正确；

对于选项,设数据，，…，的均值为，

则数据，，…，的均值为，

因为数据，，…，的标准差为，

所以数据，，…，的标准差为

，故该选项错误；

故选：AC.

10．下列命题中正确的是（    ）

A．若向量，，则可作为平面向量的一组基底

B．若四边形为平行四边形，且，则顶点的坐标为

C．若是等边三角形，则．

D．已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为

【答案】ABD

【分析】对于A，由基底的定义分析判断，对于B，由可求出点的坐标，对于C，由向量夹角的定义分析判断，对于D，由数量积的几何意义分析判断.

【详解】对于A，因为，，且满足，所以不共线，

所以可作为平面向量的一组基底，所以A正确，

对于B，设，因为四边形为平行四边形，所以，

所以，解得，所以顶点的坐标为，所以B正确，

对于C，因为是等边三角形，所以，所以C错误，

对于D，因为向量满足，，且，

所以在上的投影向量的坐标为，所以D正确，

故选：ABD

11．关于函数，下列结论正确的是（　　）

A．函数的最大值是

B．函数在上单调递增

C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到

D．若方程在区间有两个实根，则

【答案】BCD

【分析】先利用辅助角公式化简得，利用三角函数的图象与性质可逐一判定各选项.

【详解】，

显然当时，的最大值是3，故A错误；

令，则在上单调递增，故B正确；

根据三角函数的图象变换得：的图象向右平移个单位得到，故C正确；

，则由正弦函数图象与性质可知，，

解得：，故D正确；

故选：BCD

12．如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（    ）

A．四面体的体积的最大值为1

B．存在某一位置，使得

C．异面直线，所成的角为定值

D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为

【答案】ABD

【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，当平面平面时，四面体的体积最大，从而可判断A；易得，说明成立，再根据线面垂直的判定定理及性质即可判断B；证明异面直线，所成的角即为或其补角，再根据不为定值，即可判断C；说明即为二面角的平面角，再根据二面角的余弦值可得，补全为正方体，从而可判断D.

【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接，

对于A，当平面平面时，四面体的体积最大，

点到平面的距离最大，此时

在菱形中，，，

则都是等边三角形，

则，

此时四面体的体积为，

所以四面体的体积的最大值为1，故A正确；

对于B，因为分别为的中点，

所以，

且，

由题意，则，

当时，，

因为，

所以时，平面，

又平面，

所以，

所以存在某一位置，使得，故B正确；

对于C，因为，

所以异面直线，所成的角即为或其补角，

，

因为不为定值，所以不为定值，

即异面直线，所成的角不为定值，故C错误；

对于D，因为，

所以即为二面角的平面角，

则，所以，

所以四面体为正四面体，

如图，补全正四面体为正方体，

则正方体的棱长为，

则这个正方体外接球的半径为，

即四面体的外接球的半径为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．已知向量，，，，若，则的最小值为     .

【答案】/

【分析】由向量平行坐标表示可得，根据，利用基本不等式可求得结果.

【详解】，，即，又，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

14．函数的定义域为       .

【答案】或

【分析】先将函数中的分数指数幂化为根式,再充分考虑函数中各种数式的限制条件,列出不等式组,求解不等式组,再将其用集合来表达即可.

【详解】因为函数，

所以即解得或，

定义域为或，

故答案为：或.

15．若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为      .

【答案】

【分析】根据题意，分和，两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由不等式对一切实数都成立，

当时，可得，此时对一切实数都成立；

当时，则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为        .

【答案】

【分析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.

【详解】如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.

四、解答题

17．计算：

(1) ；

(2)已知，则的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分数指数幂以及对数恒等式和换底公式进行化简，即可得答案；

（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.

【详解】（1）

；

（2）

，

故.

18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．

【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)．

【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；

(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；

(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率.

【详解】解：(1)第六组的频率为，

∴第七组的频率为．

(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，，

设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，

由得，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为

．

(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．

19．在中，若

(1)求角的大小

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，得到答案.

（2）根据余弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.

【详解】（1）由余弦定理得，化简得：，

，，故.

（2），故，，

.

20．如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且.点在圆所在平面上的正投影为点，.

(1)求证：平面；

(2)设，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质及圆直径所对圆周角为直角，由线面垂直的判定定理得证；

（2）利用等体积法求棱锥的高即可.

【详解】（1）连接，如图，

由知，点为的中点，

又∵为圆的直径，∴，

由知，，

∴为等边三角形，从而．

∵点在圆所在平面上的正投影为点，

∴平面，又平面，

∴，

又，平面，

所以平面．

（2）因为，所以，，

∴．

又，，，

∴为等腰三角形，则．

设点到平面的距离为，

由得，，解得，

即点到平面的距离为.

21．已知函数（其中、、）的图像与轴相邻两个交点的距离为，且图像上一个最低点为．

（1）求的解析式及对称轴方程；

（2）当时，求的值域．

【答案】（1）；；（2）.

【分析】（1）利用图象与轴相邻两个交点的距离为可得周期为，即可求出，根据最低点为可得出，代入点即可求出，根据正弦函数的对称轴性质可求出对称轴；

（2）根据得出，根据正弦函数的性质可求出的值域.

【详解】（1）图象与轴相邻两个交点的距离为，

，即，则，，

图象上一个最低点为，则，

将点代入，，解得，

，

令，解得，

则对称轴方程为：．

（2），，

所以，

所以的值域为．

【点睛】本题考查三角函数解析式的求法，考查给定区间的三角函数最值的求法，属于基础题.

22．函数是定义在实数集上的奇函数，当时，.

(1)判断函数在的单调性，并给出证明；

(2)求函数的解析式；

(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）在上单调递减，由定义法证明即可；

（2）由奇函数的定义求解即可；

（3）由函数的奇偶性与单调性结合二次函数的性质求解即可；

【详解】（1）当时，，

∴函数在上单调递减.

证明如下：任取且，

，

∵，∴，

又，∴

∵，

∴函数在上单调递减

（2）因为当时，，所以，当时，，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，，

即当时，.

所以，函数的解析式为；

（3）∵函数在上单调递减，且，

又因为是定义在实数集上的奇函数，

所以，函数在上单调递减，且时，，

所以，函数在实数集上单调递减；

那么不等式，

即：，

则有，即（）恒成立，

所以，，

所以，实数的取值范围是.