2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数（，i为虚数单位），且，则z在复平面内对应点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的乘法计算和复数的相等即可求解.

【详解】，

所以，

由复数相等得，

在复平面对应点坐标在第四象限，

故选：D．

2．已知向量，与共线，则=（    ）

A．6 B．20 C． D．5

【答案】C

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，

又，所以，所以，

所以，所以，

所以.

故选：C

3．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的辅助角公式、二倍角公式，可得答案.

【详解】对于A，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D错误.

故选：B.

4．胜利塔位于大连市旅顺口区，是市级文物保护单位．该塔是苏军撒离旅顺之前，为纪念世界反法西斯战争胜利10周年而建．基座为五角形，五面各有二层台阶，上立有五根六角柱，中心为五角形的塔身，其顶端铸有象征胜利的红色徽标，金碧辉煌，格外耀眼．某同学为测量胜利塔的高度MN，在胜利塔的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，胜利塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得胜利塔顶部M的仰角为，那么胜利塔的高度约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在中，由正弦定义求，在中由正弦定理求，再解三角形求即可.

【详解】由已知在中，，，，

所以，

在中，，，

所以，又，

由正弦定理可得，所以，

所以，

在中，，，，

所以.

故选：C.

5．已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】设圆锥的高为h，根据圆锥及球的体积公式求出h，再由勾股定理计算可得．

【详解】根据题意，圆锥的底面半径为，设圆锥的高为h，

圆锥体积与半径为1的球的体积相等，则，解得，

所以母线长为．

故选：D．

6．如图，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由位置可将转化为，求出利用诱导公式即可.

【详解】  

设，

则，，

因，则，

故，

，

故选：B

7．粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】D

【分析】设，然后求出正四面体的高，然后由体积可求得，然后由侧面展开图可求的最小值.

【详解】设，则正四面体的高为，

因为六面体的体积为，所以，解得，

的最小值为等边三角形高的2倍，即，

故选：D

二、多选题

8．已知函数的图象相邻两对称中心的距离为，则（    ）

A．的解析式为

B．

C．若在单调递增，则

D．若将图象每个点的横坐标变为原来的倍后在上恰有4个最高点，则

【答案】ACD

【分析】先利用两角差的余弦公式和二倍角的余弦公式以及辅助角公式结合三角函数的周期性，化简得到，再逐项判断.

【详解】解：，

，

，

，

又函数的图象相邻两对称中心的距离为，

所以，解得，则，故A正确；

因为，

所以，故B错误；

令，解得，

因为在单调递增，则，故C正确；

将图象每个点的横坐标变为原来的倍后得到，

由，得，因为函数在上恰有4个最高点，

则，解得，故D正确，

故选：ACD

9．已知与是共轭虚数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】设出复数，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.

【详解】由题意，复数与是共轭虚数，设、，且，

对于A项， ，，当时，由于复数不能比较大小，故A项不成立；

对于B项，因为，，所以，故B项正确；

对于C项，因为，所以C选项正确；

对于D项，由不一定是实数，故D项不成立.

故选：BC.

10．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】通过平方的方法化简已知条件，根据向量夹角、基本不等式等知识确定正确答案.

【详解】由两边平方得①，

由两边平方得②，

①+②得，

①-②得.

，

而，所以，

所以ABD选项符合，C选项不符合.

故选：ABD

11．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（    ）

A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形

B．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形

C．长度的最大值是

D．长度的最小值是

【答案】BC

【分析】作出过且与平面平行的平面与正方体表面的交线即可判断A、B；用向量法表示出，再用二次函数的知识求解.

【详解】如图，

所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；

以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

其中，分别是的中点，

则直线的方程为所以不妨设线段上的点，

点，则，

所以当时，；当时，．故C正确，D错误．

故选：BC．

12．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为反射坐标系．在反射坐标系中，若，则把有序数对称为向量的反射坐标，记为．在的反射坐标系中，，，其中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】A选项，根据条件，可得，得到，即可判断；B选项，根据，求出模即可判断；C选项，根据，计算出，即可判断；D选项，由，计算出，即可判断.

【详解】A选项，由题意可知，

故，故，A正确；

B选项，

，B错误；

C选项，

，故不垂直，C错误；

D选项，

，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．请写出满足下列条件的函数的一个解析式：①最小正周期为；②在上单调递增；③在定义域内满足.则                .

【答案】（答案不唯一）

【分析】由函数为偶函数可设,再根据周期性, 单调递增求出相应的参数的值和范围即可.

【详解】在定义域内满足，即为偶函数，

可设，又最小正周期为，

,,

,

又在上单调递增，,可取.

故答案为: .

14．已知是纯虚数，则实数的值为             .

【答案】

【分析】根据复数的概念可得出关于的等式与不等式，解之即可.

【详解】因为，且是纯虚数，则，解得.

故答案为：.

15．已知，则              .

【答案】2或

【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系求解即可.

【详解】由两边平方得，

解得，

所以，即，

解得或，

故答案为：2或

四、双空题

16．建筑学上，建筑师利用各种弯曲空间可以建造出很多外型美观的建筑物。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.在几何学中可用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，大小用弧度制表示），多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.则正方体的总曲率为         ；正四棱锥的总曲率为             .

【答案】         

【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．

【详解】正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，

所以在各顶点处的曲率为，故其总曲率为；

正四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，

所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，

所以面角和为，

故总曲率为．

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数的最小正周期为，且图像上有一个最低点为.

(1)求的解析式；

(2)求函数的对称中心和单调递增区间.

【答案】(1)

(2)对称中心为，单调递增区间为

【分析】（1）由函数的周期公式可求得的值，由点在函数的图象上可求得的值，结合的取值范围，可求得的值，由此可得出函数的解析式；

（2）利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标，利用正弦型函数的单调性可求出函数的单调递增区间.

【详解】（1）解：因为，所以，，可得，

因为函数的最小正周期为，且，则，则，

因为点在函数的图象上，则，

可得，

又因为，所以，，则，解得，

因此，.

（2）解：由，所以，

所以，函数对称中心为，

由，解得，

所以，函数的单调递增区间为.

18．已知向量，．

(1)求的值；

(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，然后利用向量求模公式即可；

（2）向量与向量的夹角为钝角可得数量积小于0，且两个向量不能共线，列式计算可得取值范围

【详解】（1）因为，，

所以，所以

（2）由于，，向量与向量的夹角为钝角，

所以，且向量与向量不能共线，

即

所以，且，

故实数t的取值范围为：

19．从①；②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并解答．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ．

(1)求角C；

(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用正弦定理边化为角求解；

（2）将△ABC的面积拆为两个三角形面积之和，结合角平分线定理即可求解.

【详解】（1）若选①：，

由正弦定理得，即：，

∵，∴，

∵在△ABC中，，

∴，

化简得：，

∵，∴，∴．

若选②：，

由正弦定理得，，

∵在△ABC中，，

∴，

即，

∵，

∴，B为三角形内角，

故．

（2）由角平分线定理：，

设，，

由（1）知，则，

∵，

即，

化简得，

故（舍去），或，

故．

20．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；

(2)求多面体的体积；

(3)求证：平面平面AB1D．

【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；

（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；

（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明.

【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

21．如图，在棱长为的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．

(1)若平面与直线交于R点，求的值；

(2)若为棱上一点且，若平面，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设平面PQC与直线AA1交于R点，连接RQ，RP，可证，则，求得，可求的值；

（2）取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，设平面，连接，

证明，可求的值．

【详解】（1）如图所示：

因为平面平面，且平面平面，平面平面，

所以，根据空间等角定理可知，，则，

又，，，则，即，，所以.

（2）取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则，

又平面， 平面，则平面．

又平面，平面且，所以平面平面，

设平面，连接，

由平面平面，平面平面，平面平面，

所以，又，则四边形为平行四边形，同理四边形也是平行四边形，

所以，所以．

22．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”．

(1)求证：，是“函数”；

(2)若函数是“函数”，求的取值范围；

(3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)0

【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可；

（2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案；

（3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案.

【详解】（1）证明：取非零常数，

则对任意的，都有，

因为，即成立，

故，是“函数”.

（2）函数是“函数”，，

则，即，

整理得，而，

故，

即的取值范围为；

（3）因为对于任意，对任意的，都有成立，

则在R上为单调增函数，

令，，由题意知为奇函数，

因为，，

所以，

所以，则.

【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.