2022-2023学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期4月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省承德市高新区第一中学高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若 ， ，则

C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量

D．单位向量都相等

【答案】C

【分析】根据向量的相关性质逐项分析.

【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；

对于B，如果，结论B不正确；

对于C，根据平行向量的定义，C正确；

对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误；

故选：C.

2．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限

C．的共轭复数 D．

【答案】D

【分析】利用的周期性先将复数化简为即可得到答案.

【详解】因为，，，所以的周期为4，故，

故的虚部为2，A错误；在复平面内对应的点为，在第二象限，B错误；的共

轭复数为，C错误；，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.

3．如图所示，在平行四边形中，等于

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据平行四边形的性质，利用，化简原式即可得结果.

【详解】因为在平行四边形中，，

所以，

所以，故选C.

【点睛】本题主要考查相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

4．如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】由题意知，

故

,

故选：A

5．已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一表示成(为实数),则实数m的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据平面向量基本定理只需不共线即可.

【详解】由题意得,平面内的任一向量c都可以唯一表示成(为实数),

则一定不共线,所以,解得,

所以m的取值范围是.

故选：D.

【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.

6．在中，，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加法法则和减法法则用向量把向量表示出来，从而求的值.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

.

故选：C.

7．在四边形中，若，则（    ）

A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形

C．四边形是菱形 D．四边形是正方形

【答案】A

【分析】由推出，再根据向量相等的定义得且，从而可得答案.

【详解】因为，故，即，

故且，故四边形一定是平行四边形，

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.

故选：A.

8．海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（    ）

A． B． C． D．12

【答案】C

【分析】根据给定信息作出图形，在中用正弦定理求AD，用余弦定理计算作答.

【详解】如图所示，，，

在中，，由正弦定理得：，

在中，由余弦定理得：，

灯塔与处之间的距离为海里.

故选：C

二、多选题

9．下列叙述中错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则与的方向相同或相反

C．若，，则

D．对任一非零向量，是一个单位向量

【答案】ABC

【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.

【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；

对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，则或时， 与的方向不是相同或相反，故B错误；

对于C，当时，若，与是任意向量，故选项C不正确；

对于D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，

所以是的一个单位向量，故选项D正确；

故选：ABC.

10．若复数z满足(其中是虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(    )

A． B．复数z的实部是2

C．复数z的虚部是1 D．复数在复平面内对应的点位于第一象限

【答案】ABD

【分析】根据复数的运算法则和基本概念即可逐项判断．

【详解】，，

∴，故A正确；复数z的实部为2，故B正确；复数z的虚部为－1，故C错误；复数在复平面内对应的点为(2，1)在第一象限，故D正确．

故选：ABD．

11．已如正三角形的边长为，设为的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．与的夹角为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的夹角的定义及正三角判断A，由三角形中线的向量表示判断B，由向量线性运算及模的意义判断C，根据正三角的性质及向量加法判断D.

【详解】因为与的夹角为，故A错误；

因为为的中点，所以, 故B 正确；

因为，故C不正确；

因为，在等边三角形中，，所以，故D正确.

故选：BD

12．已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，，则该三角形有两解

C．若，则一定为等腰三角形

D．若，则一定为钝角三角形

【答案】AD

【分析】对A，根据正弦定理判断即可；

对B，根据正弦定理求解判断即可；

对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可；

对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可

【详解】对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确；

对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误；

对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；

对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确；

故选：AD

三、填空题

13．计算：     .

【答案】

【分析】利用复数的四则运算性质化简即可求解.

【详解】原式.

故答案为：.

14．已知向量，，．若，则        ．

【答案】

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．

【详解】由题可得

,即

故答案为

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．

15．已知为内一点，满足，则和的面积比为   

【答案】

【分析】取的中点，将已知转化成，得到为中点，进而得到和的面积比．

【详解】如图，取的中点，连接，，，

则，又由题意，所以，

故、、三点共线，且满足，所以为的中点，

从而．

故答案为：．

【点睛】本题借助查向量在几何中的应用，共线向量的意义，将两个同底的三角形的面积之比转化为高之比，体现了数形结合的数学思想．

16．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则          ．

【答案】.

【分析】利用余弦定理求出的数值，正弦定理推出的余弦值，利用展开求出的值．

【详解】解：如图所示，在中，，，，

由余弦定理得，

所以由正弦定理得．

由知为锐角，故．

故．

故答案为：.

四、解答题

17．已知梯形，，，点在边上，且，，，．

（1）求的值；

（2）求与夹角的余弦值．

【答案】(1)1;(2).

【分析】(1)结合向量的加法法则可得，结合已知条件即可求出.

(2)建立平面直角坐标系，由求出，从而求出与向量的坐标，求出两向量的数量积和两向量的模，即可求出与夹角的余弦值.

【详解】(1)解：，所以

，因为，，

所以，，，，

则，即.

(2)解：以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，因为，

所以，即，则，所以，

则，从而，

.

【点睛】关键点睛:

本题第二问的关键有两点，一是建立平面直角坐标系，二是求出的坐标，结合数量积公式即可求出夹角的余弦值.

18．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数）.

（1）设复数，求；

（2）设复数，且复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【详解】分析：根据复数的概念及其分类，求解．

（1）求得，再根据复数的模的计算公式，即可求解；

（2）由（1）可求得，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即可求解实数的取值范围．

详解：∵z=1+mi，∴．

∴

又∵为纯虚数，

∴，解得m=﹣3．

∴z=1﹣3i．                                          

（Ⅰ），                        

∴；

（Ⅱ）∵z=1﹣3i，

∴．    

又∵复数z2所对应的点在第1象限，

∴，．                                 

∴．                  

点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．

19．已知、、，设，，，且，.

（1）求满足的实数、；

（2）求、的坐标及向量的坐标.

【答案】（1）；（2）、，.

【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值；

（2）利用平面向量的坐标运算求出点、的坐标，进而可求得向量的坐标.

【详解】（1）由题意得 ，，，

所以，，

因为，所以，，解得；

（2）设为坐标原点，，，所以点的坐标为，

又， ，

所以，点的坐标为，故．

20．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解；

（2）由（1）可得，所以，在中，利用正弦定理即可求解.

【详解】解：（1）在中，，，，

由余弦定理得；

（2）由（1）可得，

所以.

在中，，，，

由正弦定理得.

21．如图所示为等边三角形，，分别为，的中点．

(1)若，，用向量，表示；

(2)若的边长为，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用基底法进行线性运算即可；

（2）利用转化法结合数量积的定义即可得到答案.

【详解】（1）因为，分别为，的中点．

.

（2）由题意得

.

22．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，且||=2||.

（1）试用，表示；

（2）若=3，=2，且∠AOB=60°，求的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）由平面向量的线性运算，结合即可得解；

（2）由平面向量数量积的运算可得，再结合已知条件求解即可.

【详解】解：（1）已知P为线段AB上的一点，且||=2||，

由图可知，

则;

（2）由（1）得,

又=3，=2，且∠AOB=60°，则，

即.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题.