2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽师范大学附属中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．复数的虚部是（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】，则其虚部为.故选：B.2．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再求两集合的并集【详解】因为，所以.故选：C3．是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.【详解】，由，不能得到，也得不到，所以是的充分不必要条件.故选：A4．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.5．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】因为，所以，又，所以故选：D6．已知为的外接圆圆心，且，则（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由已知条件可得是为直角的等腰三角形，然后数量积的定义求解即可【详解】由可知为中点，则为直径，所以；在等腰中，由，得，所以，所以是为直角的等腰三角形，所以故选：A.7．已知函数是偶函数，且在单调递增，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先确定函数关于对称，再结合单调性，即可判断选项.【详解】是偶函数，则关于对称，又因为在单调递增，则在上单调递减，所以，根据函数关于对称，可知，，则，只有D正确.故选：D8．向量，若存在整数使得方程在上有两个不同的实数根，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】首先化简，将方程的实数根转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合，即可求解.【详解】，若有两个不同的实数根，则有两个不同实数根，，有，如图，画出函数的图象，  要使得有两个不同实数根，，于是为整数，所以.故选：C 二、多选题9．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用给定条件结合基本不等式可判断AB；利用函数的单调性可判断CD.【详解】对于A，，且，所以，故A正确；对于B，，又因为，所以，又等号不成立，故B正确；对于C，因为，所以，所以,可得，，所以， 因为在是单调递增函数， 所以，故C正确； 对于D，，因为在是单调递增函数，所以，故D错误.故选：ABC.10．已知向量，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．若，则D．在上的投影向量为【答案】ABD【分析】根据向量的坐标，表示向量夹角的余弦值，判断A；利用数乘公式，判断B；根据向量垂直的坐标表示求的值，判断C；根据向量投影公式，判断D.【详解】由题知，A正确；，所以，В正确.若，则，则，C不正确；在的投影向量为，D正确.故选：ABD11．狄利克雷是解析数论的创始人之一，对数学分析和数学物理有突出贡献，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，以下关于狄利克雷函数的说法正确的是（    ）A．是偶函数 B．C．值域是 D．函数值域包含正整数集【答案】AB【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的奇偶性的定义和运算，可判定A、B正确，C错误；结合函数的值域中不含有4，可判定D错误.【详解】由题意，函数的定义域是，若是有理数则也是有理数，若是无理数则也是无理数，所以，函数为偶函数，所以A正确；当是无理数时，；当是有理数时，，所以B正确；由函数值域是，所以C错误；函数，由，可得，此时为无理数，所以，由，可得，此时为有理数，所以，综上可知，函数的值域内不含有，所以D错误.故选：AB.12．在中，，以下结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用向量运算可得，，，再利用三角形面积性质判断作答.【详解】由，两边同时乘以，得，令，则，即有，因此，点在上，且，如图，所以，则；同理，两边同时乘以得：，令，点在上，，所以，则；，所以.故选：ABD 三、填空题13．已知函数，则          .【答案】【分析】根据解析式可推导得到，进而求得结果.【详解】，.故答案为：.14．已知函数，，当时，函数取得最小值，则          .【答案】【分析】利用基本不等式取等条件可确定的取值，结合二倍角余弦公式可求得结果.【详解】当时，，（当且仅当，即时取等号），，.故答案为：.15．三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图（也称赵爽弦图），弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则          .    【答案】【分析】利用面积关系，结合向量共线，即可求解.【详解】连接，因为，所以，所以，所以，，故.  故答案为：16．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是          .【答案】【分析】首先根据方程，求得或，再画出函数的图象，结合函数零点的个数，利用数形结合求的取值范围.【详解】的大致图象如图，  函数有5个零点等价于方程有5个不同的根，解关于的二次方程得：或；由的图象可知有两个根，则需有3个根，所以，则实数的取值范围为.故答案为： 四、解答题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期，并求出使函数取得最大值的的集合；·(2)当，求函数的值域.【答案】(1)最小正周期2，；(2). 【分析】（1）由周期公式可求出最小正周期，再由可求出函数取得最大值的的集合；（2）令，则，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域.【详解】（1）最小正周期，当（），即时，函数取得最大值，所以取最大值时，的集合是；（2）令，因为，所以，在区间上单调递增，在区间单调递减，当时，时，时，.所以当时，函数最大值为3，最小值为，故函数的值域为.18．已知复数.(1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；(2)若该虚数是关于的方程的一个根，求实数的值.【答案】(1)(2)13 【分析】（1）根据条件中复数的特征，列式求实数的取值范围；（2）根据条件可知，和都是方程的根，结合韦达定理，即可求解.【详解】（1）复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得：，得，则实数的取值范围为；（2）因为虚数是方程的一个根，所以虚数也是方程的一个根，于是，解得，得到，.19．在中，角所对的边分别为，且满足为中点.(1)若，求长；(2)若周长为6，求面积的最大值.【答案】(1)(2). 【分析】（1）首先利用边角互化，求角，再利用，结合向量模的公式，即可求解；（2）由余弦定理，并结合基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值.【详解】（1）因为，由正弦定理得，，，，所以，所以；（2）由余弦定理得：，整理得：，因为，所以，所以或，即或，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最大值为.20．已知函数.(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)若对于任意的总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）分类讨论函数的类型，图象的开口方向，结合二次函数的单调性列式可求出结果；（2）转化为的值域是值域的子集，再分别求出和的值域，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）当时，，在区间上单调递减，符合题意；当，函数是二次函数，对称轴为，因为函数在区间上单调，所以当时，则，所以，当时，则，所以，综上所述，若函数在区间上单调，则实数的取值范围.（2）由条件可知：的值域是值域的子集，因为，当且仅当即时等号成立，所以值域为；当时，值域为，显然符合条件；当时，值域为，不成立；当时，值域为，由的值域是值域的子集，得，即；综上所述，实数的取值范围为.21．塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推进塑料污染治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，将禁用不可降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：）(1)塑料自然降解，残留量为初始量的，大约需要多久？(2)为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的，至少需要多久？（精确到年）【答案】(1)207年；(2)21年. 【分析】（1），则可求出的值，从而可得答案，（2）由题意得，可求出，然后解不等式可得结果.【详解】（1）由题可知，所以，所以，所以残留量为初始量的，大约需要207年；（2）根据题意当时，，，解得，所以，若残留量不足初始量的，则，，两边取常用对数，，所以至少需要21年.22．已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且满足(1)求 .(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围 .【答案】(1)(2) 【分析】（1）先切化弦，再由正弦定理可得；（2）根据锐角三角形，再由余弦定理可得边长间关系得出范围.【详解】（1）由题可知两边同乘   由正弦定理得， （2）为锐角三角形，所以cosA>0，cosB>0，cosC>0由余弦定理得把代入上面不等式，并两边同时除以可得解得由正弦定理得的取值范围是