2022-2023学年河北省唐山市玉田县高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年河北省唐山市玉田县高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A．-1 B．-i C．5 D．5i

【答案】A

【分析】将化为复数的代数形式，再求其虚部.

【详解】依题意，，故所求虚部为-1，

故选：A．

2．已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.

【详解】，

.

故选：D.

3．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据棱柱和棱锥的体积公式计算

【详解】设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是、、，

则截去的棱锥的体积，

原长方体的体积，剩下的几何体的体积为，

∴

故选：D

4．已知复数满足，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据复数的计算算出，对选项一一验证.

【详解】即，则.

对A，，A错；

对B，共轭复数，B对；

对C，，C错；

对D，，D错.

故选：B

5．若，，向量与向量的夹角为150°，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用投影向量的定义直接求解.

【详解】因为，，向量与向量的夹角为150°，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：D

6．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案.

【详解】解：根据正弦定理边角互化得，

所以，

所以，

所以，即，

所以或，

所以或，即的形状是等腰或直角三角形.

故选：D

7．如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法，把直观图还原成原来的实际图形，再计算作答.

【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形，如图，

其中，因此有，

所以原图形的周长为（cm）.

故选：B

8．如图，在△ABC中，，，BE交CF于点P，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由三点共线的性质得出.

【详解】因为三点共线，所以

因为三点共线，所以

所以，解得，

故选：A

二、多选题

9．已知，，，，则（    ）

A． B．

C． D．与夹角的余弦值为

【答案】ACD

【分析】对A，根据向量的坐标运算求解即可；

对B，根据向量平行的坐标公式判断即可；

对C，根据向量垂直数量积为0判断即可；

对D，根据平面向量的夹角公式求解即可

【详解】对A，，故A正确；

对B，，，因为，故B错误；

对C，因为，，故，故C正确；

对D，．故D正确

故选：ACD

10．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（    ）

A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限

B．当时，为纯虚数

C．最大值为

D．的共轭复数为

【答案】BC

【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.

【详解】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；

对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；

对于C，，最大值为，故C正确；

对于D，的共轭复数为，故D错误.

故选：BC.

11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（    ）

A．若，则该三角形有两解 B．若，则该三角形有两解

C．周长有最大值12 D．面积有最小值

【答案】BC

【分析】根据、选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合角度大小进行判断；，选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．

【详解】解：对于，由，得，

由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，错误；

对于，同理，由，可得，

由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，正确；

对于，由，

得．

故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为，此时三角形为等边三角形，故正确；

对于，由推导过程知得，

即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故错误，

故选：．

12．如图所示，在坡地一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若 m，山坡对于地平面的坡度为，则下列说法正确的是(    )

A．

B．

C．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为米

D．山坡A处与建筑物CD的顶端C的距离为100米

【答案】AC

【分析】在中，由正弦定理可求AC、BC，在中，由正弦定理可求，由此可求cosθ．

【详解】，∠BAC=15°，，

在中，由正弦定理得

在中，由正弦定理得，

，即，故A正确，B错误；

在△ABC中，∠ABC=135°，由正弦定理得：

，故C正确，D错误．

故选：AC．

三、填空题

13．若复数（其中为虚数单位）所对应的向量分别为和，则的面积为       ．

【答案】5

【分析】求出向量和的坐标，再利用向量模和垂直的坐标表示即可求解作答.

【详解】依题意，，，则，，

而，则，

所以的面积为.

故答案为：5

14．在边长为2的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值为         .

【答案】/

【分析】选定基底，设，用基底表示出，根据数量积的运算律可得的表达式，结合二次函数的最值，即可得答案.

【详解】由题意知，，

设，则，

，

故，

当时，取最小值，

即的最小值为，

故答案为：

15．在△ABC中，已知，最大边与最小边的比为，则该三角形中最大角的正切值是          ．

【答案】

【分析】由题意结合正弦定理及三角恒等变换即可得解.

【详解】由题意，b不为最大边，也不为最小边，不妨设a为最大边，c为最小边，

由题意有，即，

整理得，.

故答案为:

16．如图已知圆锥的底面半径，高若圆柱内接于该圆锥，则圆柱侧面积的最大值         .

【答案】

【分析】设圆柱底面圆半径，借助相似用半径表示圆柱的高.

【详解】画出轴截面图，设圆柱底面圆半径为，

因为，所以，.

圆柱侧面积

当时，圆柱侧面积最大，最大值为

故答案为：

四、解答题

17．已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求向量与的夹角.

【答案】(1)或.

(2)

【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；

（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.

【详解】（1）已知，

所以.

又因为，所以有，

所以，解得或.

（2）因为，所以.

又，所以，

解得，所以.

所以，

因为，所以.

18．已知复数，求解下列问题：

(1)若复数为纯虚数，求的值；

(2)当时，为实系数方程的一个根，求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）求出根据复数的分类可得答案；

（2）当时求出，把代入，再根据复数的分类可得答案.

【详解】（1）由题意：，若复数为纯虚数，满足

，解得.

（2）当时，，

，

为实系数方程的一根，

，

       ，

，

.

19．在①，②，③这三个条件中，有且只有一个符合题意，请选择符合题意的条件，补充在下面的问题中，并求解.

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，___________.

(1)求角C；

(2)若M是AB边上的一点，且，求CM的长.

【答案】(1)选③，

(2)

【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可从三个条件中选择符合的，（2）根据向量的线性表示进而求模长

【详解】（1）若选①，由正弦定理，可得，

因为，所以，可得.

因为△ABC为锐角三角形，所以C无解，不符合题意.

若选②，由正弦定理，可得.因为，，所以.

所以，

因为△ABC为锐角三角形，所以C无解，不符合题意.

若选③，由正弦定理，可得，

又，可得

因为，所以，可得，

因为，所以.

（2）（法一）因为，所以.

所以

.

所以.

（法二）在△ABC中，，

所以.

所以,在中，，，

所以，

所以.

20．在如图所示平面图形中，弧CD为四分之一圆弧，，，，，．求将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．

【答案】表面积，体积．

【分析】将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体为一个圆台挖去一个半球，根据球和圆台的表面积和体积计算公式计算即可．

【详解】所成几何体为一个圆台挖去一个半球，

∵，则∠EDC=45°，则是等腰直角三角形，

∴，，

∴几何体表面积为：，

体积为：．

21．已知的内角的对边分别为，，，，的内切圆的面积为.

(1)求的值；

(2)若点在上，且三点共线，求的值.

【答案】(1)

(2)105

【分析】（1）先利用余弦定理求出，然后利用等面积法求出内切圆的半径，然后求出即可；（2）显然平分，然后利用角平分线的性质可得，然后得，最后计算即可.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：

，即

设内切圆的半径为，则

（2）在中，由（1）结合余弦定理得，

平分点到的距离相等，故，

而

22．根据某城市的总体规划，计划将图中四边形区域建设成生态公园，其中，，，为公园道路(不计宽度).已知条件：，，km，km.

(1)求道路的长度；

(2)如图所示，需建立一个观测站，并使得，，求两地的最大距离.

【答案】(1)km

(2)km

【分析】（1）在和中，根据余弦定理可求出结果；

（2）设，求出，在中，用正弦定理得，代入得到，利用正弦函数的图象可求出结果.

【详解】（1）由题意得：km，所以是等腰三角形，

因为，所以，

在中，由余弦定理得：，

所以km，

因为，所以，

在中，由余弦定理得：，

得，即，

解得km 或 km ，

由于，所以km.

（2）因为，即，又因为，则，

所以，设，

所以在直角中，且，

则在中，由正弦定理得：，

所以，

所以

因为，所以，所以，

所以，

所以两地的最大距离为.