2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一下学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市鄠邑区高一下学期期中数学试题 一、单选题1．在平面直角坐标系中，若点，，则的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标表示求解即可【详解】由题意，故选：A2．将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转，所得的几何体为（    ）A．一个圆锥 B．两个圆锥 C．一个圆台 D．一个圆柱【答案】C【分析】根据旋转体的定义可得答案.【详解】由题意根据旋转体的定义，可得将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转得到一个圆台.故选：C.3．若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（    ）A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内【答案】B【分析】由一条直线上有一个点在平面外可知,直线与已知平面有两种位置关系:平行或相交;根据直线和平面平行和相交时点的位置和平面的位置关系即可解答.【详解】直线上有一点在平面外，则直线不在平面内, 直线与已知平面平行或相交,故直线上有无数多个点在平面外.故选:B.【点睛】本题是一道判断空间内点和面的位置关系的题目,掌握平面和直线的位置关系是解题的关键,属于基础题.4．已知，为非零向量，且，则（    ）A．，且与方向相同 B．，且与方向相反C． D．，无论什么关系均可【答案】A【分析】对两边平方得到，结合平面向量数量积公式得到，从而，且与方向相同.【详解】，两边平方得，化简得，即，又，其中为，的夹角，因为，为非零向量，所以，则.故，且与方向相同.故选：A5．若向量表示“向东航行1km”，向量表示“向北航行km”，则向量表示（    ）A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行(1＋)km【答案】B【分析】根据向量的方向，画出图形，利用向量的加法运算，计算结果.【详解】如图，  易知tanα＝，所以α＝30°．故的方向是北偏东30°．又.故选：B．6．如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ）A．若存在实数，使，则B．向量C．不一定在平面内D．对于平面内任意向量，使的实数，有无数对【答案】A【分析】根据基底的定义，共线向量定理，平面向量基本定理以及平面向量的坐标运算，可得答案.【详解】对于A，假设，则，化简可得，即共线，这与是基底相矛盾，故，而，所以， A正确；对于B，当，，显然，故B错误；对于C，由平面向量基本定理可知，对于任意，当时，必定共面，故C错误；对于D，设，，对于，设，所以，，则只有唯一一对值，故D错误.故选：A.7．若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，圆锥的体积是，则侧面积是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的轴截面是等腰直角三角形，表示出圆锥的高，根据体积即可求得半径，进而求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则其斜边为圆锥底面直径，故圆锥的高即为该等腰直角三角形斜边上的高，即为，圆锥的体积是，故，则圆锥的母线长为，故圆锥侧面积为，故选：D8．在中，，分别为，的中点，，，则的值为（    ）A．6 B．3 C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：  由为中点，则，由为中点，则，，故选：D. 二、多选题9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．当时，C．与夹角为锐角时，则的取值范围为D．当时，【答案】ABC【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断B选项；利用平面向量数量积结合B选项可判断C选项；利用平面向量的坐标运算可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，可得，A对；对于B选项，当时，则，解得，B对；对于C选项，当与夹角为锐角时，则，解得，C对；对于D选项，当，可得，解得，D错.故选：ABC.10．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（    ）  A．直线与是相交直线 B．直线与是平行直线C．直线与是异面直线 D．直线与是异面直线【答案】CD【分析】根据异面直线的定义逐项判断可得答案.【详解】对于A，因为点在平面外，点在平面内，直线在平面内，不过点，所以与是异面直线，故A错误；对于B，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故B错误；对于C，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故C正确；对于D，因为与都在平面内，在平面外，不过点，所以与是异面直线，故D正确.故选：CD.  11．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则【答案】CD【分析】对于A，还有可能；对于B，还有可能；对于C，根据面面垂直的性质定理可得；对于D，先推出，再根据面面垂直的判定定理可得.【详解】对于A，若，，则或；故A不正确；对于B，若，，则或，故B不正确；对于C，若，，，，则根据面面垂直的性质定理可得，故C正确；对于D，若，，则，又，所以，故D正确.故选：CD12．已知的内角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则为等边三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则为直角三角形【答案】ABD【分析】对于A：利用大角对大边和正弦定理直接判断；对于B：利用正弦定理把已知条件转化为，因为的单调性求出，即可判断；对于C：利用正弦定理和诱导公式求出或，即可判断；对于D：利用正弦定理和三角公式得到，求出，即可判断.【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得：.故A正确；对于B：在中，因为A、B、C不可能同时为.由可得：A、B、C均不等于.所以，由正弦定理可得：,即，因为在上单增，在上单增，所以，即为等边三角形.故B正确；对于C：因为，由正弦定理可得：,即，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故C错误；对于D：因为，由正弦定理可得：,即.因为,所以，所以.因为,所以，即为直角三角形.故D正确.故选：ABD 三、填空题13．已知正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，则表面积为      .【答案】144【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为，所以，高，过作交于，连接，因为是正四棱锥，易知，且，所以正四棱锥的侧面积为，又底面积为，故正四棱锥的表面积为144.      故答案为：144.14．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的，已知，，则AB边的实际长度是      .【答案】10【详解】由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝.点睛：1.用斜二测法得直观图：“保平行，横不变，纵减半”是画图的标准；2.平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝S原(或S原＝2S直).15．如图，在几何体中，，，，，，平面，则直线与平面所成角的正弦值为      .  【答案】【分析】由且可得四点共面，则可延长交与，由 平面,可知直线与平面所成角即，中求即可.【详解】且四点共面延长交与,如图  平面,平面直线与平面所成角即,,则即可解得则中可得故答案为：.16．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式.如果球的表面积为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为      .【答案】【分析】根据给定条件，求出球的直径，再代入近似公式计算作答.【详解】设球半径为，由球的表面积为，得，解得，依题意，，解得，所以球的体积约为.故答案为： 四、解答题17．已知，与的夹角是.(1)求的值及的值；(2)当为何值时，？【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）∵，与的夹角是，∴，；（2）由题意，，即，解得，即时，.18．如图，为的直径，垂直于所在的平面，为上任意一点.  (1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）根据棱锥的体积公式，即可求得答案.【详解】（1）证明：∵为的直径，∴；又垂直于所在的平面，即平面，平面，∴.又∵，，平面，∴平面.（2）由（1）知，而，∴，∴，∴.19．如图，在正方体中，为与的交点.  (1)求证：平面平面；(2)设，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据正方体的几何性质，结合线面垂直以及面面垂直的判定定理，可得答案；（2）根据二面角的平面角定义作图，利用直角三角形的性质，可得答案.【详解】（1）证明：由正方体的性质知：平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）连接，  由正方体的几何性质，可得，，则，由，则为二面角的平面角，在正方体中，∵，∴，，由（1）可知：，在中，，故，即二面角的余弦值为.20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．(1)求B；(2)已知D为的中点，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.（2）利用向量得到，从而利用数量积运算法则得到，从而得解.【详解】（1），，，且，，两式相加得，，即,.（2）因为D为的中点，所以，所以，，代入，得：，或（舍去）；.21．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.【答案】（1）见证明；(2)见解析【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，由面面平行的判定定理，即可得到证明.【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故∵面 ∴面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点  理由如下：由点分别为中点可得： ∵面∴面 由（1）可知，面且故面面【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．22．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．