2022-2023学年重庆市长寿中学校高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年重庆市长寿中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量，向量，若，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解.

【详解】∵，，，

∴，解得.

故选：B.

2．已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（    ）.

A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度

C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度

【答案】C

【解析】根据三角函数的平移得到答案.

【详解】把的图像向右平移个单位长度，

得到的图像.

故选：

【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题.

3．已知锐角，满足，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由，利用两角差的余弦公式求解.

【详解】解：因为，是锐角，且，，

所以，，

所以，

，

，

故选：A

4．已知角终边过点，则的值为（    ）

A． B． C．– D．–

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】由题意得，点到原点的距离，

所以根据三角函数的定义可知，，

所以.

故选：A．

5．若的内角，，所对的边分别为，，，∠，，则一定是

A．底边和腰不相等的等腰三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】根据题意，可知，由于，结合余弦定理得出，进而得出，即可得出的形状.

【详解】解：由题可知，∠，，

则在中，，

根据余弦定理得：，

则，即，

即：，所以，则，

所以一定是等边三角形.

故选：D.

【点睛】本题考查判断三角形的形状和余弦定理的应用，属于基础题.

6．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】把作为基底，利用向量的加减法法则和已知条件，把用基底表示即可

【详解】解：因为四边形为平行四边形，对角线与交于点，且，

所以，

所以.

故选:C.

7．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根据展开即可求解.

【详解】解：如图所示，

在中，，

由余弦定理得，解得，

又由正弦定理得，

由知为锐角，所以，

所以.

故选：B．

8．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围

【详解】因为，所以.由，得.

当时，，又，则.

因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.

故选：D.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．是第二象限角

B．第三象限角的集合为

C．终边在轴上的角的集合为

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】AC

【分析】根据终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.

【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角，

所以是第二象限角，故A正确；

对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；

对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；

对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，

例如，则为直角，故D错误；

故选：AC.

10．已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则是等腰三角形

【答案】AC

【分析】由结合诱导公式可判断选项A，B，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C，在三角形中若,则若或可判断选项D.

【详解】由，

则,故A正确.

,故B不正确.

由三角形中大角对大边，，则，根据正弦定理有,故C正确.

在三角形中若,则若或.

所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题.

11．已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．在区间单调递增

C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称

【答案】ACD

【分析】对于A：先化简，再借助于为偶函数进行判断；对于B：利用复合函数的单调性法则直接判断；对于C、D：利用代入法进行判断.

【详解】对于A：.

因为为偶函数，所以为偶函数.故A正确；

对于B：当时，.

因为在上递增，在上单减，所以在区间不单调.故B错误；

对于C：因为，所以的图像关于点对称.故C正确；

对于D：因为，所以的图像关于直线对称.故D正确；

故选：ACD.

12．给出下列命题，其中正确的选项有（    ）

A．等边中，向量与向量的夹角为

B．，，则向量在向量上的投影向量为

C．非零向量满足，则与的夹角为

D．若，，，为锐角，则实数的取值范围为

【答案】ABC

【分析】由向量夹角定义知A正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C正确；由，根据为锐角可构造不等式组求得D错误.

【详解】对于A，，为等边三角形，，A正确；

对于B，，，

在上的投影向量为，B正确；

对于C，，以构成如图所示的等边三角形，

其中，，，

以为邻边作平行四边形，则，四边形为菱形，

，又，平分，

，C正确；

对于D，，，

，

为锐角，，解得：且，D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．计算：          .

【答案】

【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】.

故答案为：.

14．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为           .

【答案】

【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解.

【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得，

所以扇形的周长为.

故答案为：.

15．在中，，，是的平分线，交于点，且，则的面积为       .

【答案】

【分析】在中用正弦定理求得，从而有，是直角三角形，面积易求．

【详解】在中，，∴，

∴（三角形内角的一半），∴ ．

，．

故答案为：．

【点睛】本题考查求三角形面积，考查正弦定理．属于中档题．

16．已知△ABC中，A= 60 °，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA= OB = OC．设=λ+μ，则λ+ μ的值为        .

【答案】

【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，在圆中，延长交于点，已知等式两边同乘以得：，同理得：，从而有：.

【详解】由题意可知，为外接圆的圆心，

设半径为，在圆中，过O作，

，两边乘，

，

，得，

同理两边乘，,

，得，

解得，，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，且在第三象限，

(1)和；

(2).

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据同角的三角函数关系式即可求得答案；

（2）利用诱导公式化简，结合三角函数正余弦齐次式求值，可得答案.

【详解】（1）已知，且在第三象限，

所以，.

（2）

18．已知，与的夹角是.

(1)求的值及的值；

(2)当为何值时，？

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；

（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．

【详解】（1）∵，与的夹角是，

∴，

；

（2）由题意，，

即，

解得，

即时，.

19．已知函数的部分图象如图.

(1)求函数的解析式;

(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据图象由函数最值求得，由函数周期求得，由特殊点求得，即可求得解析式；

（2）根据三角函数图象的变换求得的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

【详解】（1）由图象可知，的最大值为，最小值为，又，故，                          

周期，，，则，

从而，代入点，得，

则，，即，，

又，则.

.

（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，

故可得；

再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象

故可得；

，，

，.

20．已知外接圆的半径为，其内角的对边长分别为．若．

（1）求角的大小．

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由正弦定理可知：，将等式转化为，由余弦定理可求出角；

（2）由条件利用正弦定理可求出，又角是钝角，可知角为锐角，从而求出，根据三角形内角和的关系，=，从而求出的值.

【详解】

由知：

，

由，故为锐角，

.

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于中档题.

方法点睛：（1）用边化角或角化边将题干化简成统一形式，再用余弦定理或两角和与差的公式求角；

（2）若题目中出现两边及其一边的对角，常用正弦定理求另一角，然后求其他量；

（3）若出现两边以及第三边的对角，常用余弦定理求第三边，然后求其他量.

21．已知在中，角的对边分别是，，，且．

（1）求角；

（2）若边长，求周长的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由，得，再利用余弦定理和三角函数恒等变换公式可求出角；

（2）由余弦定理得，再利用基本不等式可求出，从而可求出周长的取值范围

【详解】解：（1）∵

，

由正弦定理得，

即，

，

在中，

，

，

，

；

（2）由余弦定理可得：，

即，

，

，

，当且仅当时取等号，

又得，周长范围

22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式；

(2)当时，求的单调递减区间；

(3)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值.

【答案】(1)

(2)单调递减区间为

(3)，

【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合其周期以及奇偶性求得参数，即得函数解析式；

（2）根据正弦函数的单调性求得的单调递减区间，结合，即可求得答案；

（3）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换可得的表达式，将化简，结合正弦函数的图象，根据其对称性即可求得答案.

【详解】（1）由题意得，

因为图象的相邻两对称轴间的距离为，

所以，

，

又由为奇函数，可得，

，此时为奇函数，符合题意，

函数；

（2）令，解得，

则的单调递减区间为：，

又，可得的单调递减区间为；

（3）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则，

故，即，

，可得，

设，其中，即，

结合正弦函数的图象：

可得方程在区间有5个解，即，

其中，

即，

，

解得，

所以.