2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及余弦的两角和公式，即可求解．

【详解】

．

故选：B．

2．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合.

故选A

3．已知，，且则在上的投影数量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由得，从而求得，再由投影数量的定义直接计算即可．

【详解】，

，

，即，

，

在上的投影数量为．

故选：D．

4．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，且黄金分割率的值也可以用表示，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【分析】利用正弦的二倍角公式、三角平方关系可得答案.

【详解】.

故选：B.

5．已知，将图象上横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变时），得到求的图象.的部分图象如图所示（，分别是函数的最高点和最低点），其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用恒等变换得到，结合题干条件和向量数量积得到，结合，得到，最小正周期，求出的值.

【详解】，因为D，C分别为函数的最高点和最低点，所以，由可得：，从而，所以，过点C作CE⊥x轴于点E，则，且由三线合一可知，为AB中点，CE平分∠ACB，故，所以，函数最小正周期，即，解得：

故选：B

6．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件结合向量数量积的运算和三角恒等变换可得，再由诱导公式和二倍角公式即可求得．

【详解】因为，且，

所以，

所以，所以，

所以

，

故选：B

7．已知函数，给出下列4个结论：

①的最小值是；

②若，则在区间上单调递增；

③将的函数图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得函数的图象，则；

④若存在互不相同的，，，使得，则

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②

【答案】A

【分析】化简得到，，①正确，时，，②正确，，时不相等，③错误，，解得，④正确，得到答案.

【详解】，

对①：当时，，正确；

对②：，则，时，，正确；

对③：，时，，不相等，错误；

对④：，，，

则，，

当时，，故当时，，解得，正确.

故选：A

8．在四边形ABCD中，，作于点H．若，则（    ）

A． B．10 C． D．12

【答案】D

【分析】设AC与BD交于点O，由已知可得，则，且即可求结果.

【详解】设AC与BD交于点O，因为，所以．

又于点H，且，

所以，

所以．

故选：D

二、多选题

9．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．

B．在上单调递增

C．的解集为

D．将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

【答案】AC

【分析】根据函数图象易得与周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可求出函数解析式，即可判断A；结合正弦函数的单调性代入验证即可判断B；根据正弦函数的性质解不等式即可判断C；根据平移变换求出变换后的函数解析式，再根据三角函数的奇偶性即可判断D.

【详解】解：由图可得，

，所以，所以，

所以，

将点代入得，，即，

又，所以，

所以，故A正确；

当，则，

所以函数在上不单调递，故B错误；

若，则，

所以，

即，

所以的解集为，故C正确；

将的图像向左平移个单位长度，

可得函数，

则函数为偶函数，关于轴对称，故D错误.

故选：AC.

10．下列计算正确的有（    ）

A．

B．

C．在处取得最大值，则

D．已知，，且，则

【答案】ABD

【分析】A选项根据和两角差的正切公式求解；B选项补上一个后，可反复利用二倍角公式，结合诱导公式求解；C选项利用辅助角公式求解，D选项利用向量的运算化简，然后利用同角的三角函数的平方关系求解.

【详解】对于A，

，

故A正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，，其中，

当，即时，取得最大值，

此时，故C错误；

对于D，，则，

边同时平方可得：，故，故D正确．

故选：ABD

11．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，函数单调递增

C．当时，函数单调递减

D．当秒时，

【答案】BCD

【分析】利用周期求出点终边对应的角，根据三角函数的定义得，根据正弦函数的图象与性质判断各个选项即可．

【详解】因为，所以，，

又因为旋转一周用时秒，所以角速度，

所以，

根据三角函数的定义，，

对于选项A：由解析式可知，故A错误；

对于选项B：当时，，且在上单调递增，

所以函数在单调递增，故B正确；

对于选项C：当时，，且在上单调递减，

所以函数在单调递减，故C正确；

对于选项D：当时，，此时，

所以，故，故D正确．

故选：BCD．

12．已知平面向量，，则的可能值为（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】AB

【分析】先对平方得到，结合图形可得答案.

【详解】因为，，所以；

设，作出简图，

易知，由图可知，当直线经过点时，有最大值6；

当直线经过点时，有最小值；

所以.

故选：AB.

三、填空题

13．已知向量满足，与的夹角为，则        ．

【答案】

【分析】结合模长、数量积公式、化简即可求解.

【详解】由，因为，与的夹角为，所以，，

故.

故答案为：

14．已知，且，则         ．

【答案】

【分析】先利用诱导公式求的值，再利用二倍角公式求的值.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

所以.

故答案为：.

15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为       米.

【答案】

【解析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得，可求的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.

【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，

连结，可得，由条件可知， 所以，所以，，

所以月牙泉的周长.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.

16．已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则ω的取值范围是           .

【答案】

【分析】将代入的解析式，求φ的值, 结合正弦函数的图象与性质列关于ω的不等式组，即可得解.

【详解】由题意得，∴，又，∴，

∴，

∵的图象过点，且在区间上单调递增，

∴作出的大致图象如图所示，

其中为在y轴左边的第一个零点，为在y轴右边的第一个极大值点，

∴，∴，得，

∴，得，∴ ω的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．已知，其中为锐角，若与夹角为90°，

(1)求的值

(2)求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可得到，从而求出，再利用诱导公式将式子化简，最后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；

（2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】（1）解：因为与夹角为，所以，

即，即，即，

又，，即，

所以，又为锐角，所以，

所以

（2）解：

18．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，且图象关于原点对称；

②向量，，，；

③函数.在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中空格位置，并解答.已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)若，且，求的值；

(2)求函数在上的单调递减区间.

【答案】(1)

(2)，．

【分析】（1）若选条件①，根据函数的周期性求出，再根据三角函数的平移变换规则及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；

若选条件②，根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数解析式，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；

若选条件③，利用两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；

（2）根据正弦函数的性质求出函数的单调递减区间，再根据函数的定义域令和，即可求出函数在指定区间上的单调递减区间；

【详解】（1）解：若选条件①：由题意可知，，，，，

又函数图象关于原点对称，所以，，，，，，，

，，，．

若选条件②：因为，，，，所以

又，，．

，，，；

若选条件③：

，

又，，．

，，，；

（2）解：由，，解得，，

令，得，令，得，

函数在上的单调递减区间为，．

19．已知，，，.

(1)求的值；

(2)求的值：

(3)求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）同角三角函数平方关系求得，，再由及差角余弦公式求值即可.

（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.

（3）由（1）及和角正余弦公式求、，由（2）及平方关系求，最后应用差角余弦公式求，结合角的范围求.

【详解】（1）由题设，，，

∴，，

又.

（2）.

（3）由，则，

由，则，

∴，，又，，则，

∴，而，故.

20．已知函数（）．

（1）求的最小正周期及对称轴方程

（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的的值．

【答案】（1），对称轴.；

（2）时，；时，．

【分析】（1）三角函数问题，一般先把函数化为的形式，用二倍角公式和两角和与差的正弦（余弦）公式可化，然后再借助正弦函数的性质可得；

（2）利用正弦函数的最大值和最小值可求得的最大值最小值，但要结合题中给出的的范围．

【详解】解：（1）

，

所以的最小正周期为．

由，可得.

所以对称轴；

（2）∵，

所以，

当，即时，；

当，即时，．

21．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，），点在线段上，且满足.已知，，设.

（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大.当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；

（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大.当为何值时，取得最大值，并求该最大值.

【答案】（1）（2）当，达到最大，最大值为

【解析】（1）设，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案.

（2）计算，得到，得的最值.

【详解】（1）设，则在直角中，，.

在直角中，，

.

，，

所以当，即，的最大值为.

（2）在直角中，由，

可得.

在直角中，，

所以，，

所以

，

所以当，达到最大值.

【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力.

22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.

(1)设函数，试求的伴随向量；

(2)记向量的伴随函数为，求当且时的值；

(3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在点，使得.

【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时.

【详解】（1），故；

（2）由题意得：，故，由于，所以，所以，所以

.

（3），所以，假设存在点，使得，则即，因为，所以，所以，又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得.