2022-2023学年江苏省泰州市田家炳实验中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省泰州市田家炳实验中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则（ ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.

【详解】因为，，所以，

则.

故选：C.

2．的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用二倍角公式进行化简求值.

【详解】原式.

故选：C

【点睛】本小题主要考查利用二倍角公式进行化简求值，属于基础题.

3．设，为平面内一个基底，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】根据平面向量共线定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

因为A，B，D三点共线，

所以有，即

因为，为平面内一个基底，

所以，不是共线向量，因此有，

故选：D

4．在中，已知C=45°，，，则角B为（    ）

A．30 B．60 C．30或150 D．60或120

【答案】A

【分析】由正弦定理，求得，结合，即可求解.

【详解】在中，由正弦定理可得，

又因为，可得，即，所以.

故选：A.

5．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.

【详解】因为，

所以,

故选：B

【点睛】本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于容易题.

6．如图，正方体的棱长为2，E为的中点，则异面直线与ED所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】连接，得到，把直线与所成的角，转化为异面直线与所成的角，在中，结合余弦定理，即可求解.

【详解】由题意，在正方体中，分别连接，

可得，则直线与所成的角，即为异面直线与所成的角，

设角，

在中，可得，

由余弦定理，可得.

即异面直线与所成的角的余弦值为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力.

7．在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．

【详解】∵，∴，，，整理得，∴三角形为直角三角形．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合余弦定理可知，可得，由正弦定理可得，所以，利用三角恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求得结果.

【详解】由，且，得，

即，由余弦定理可知，

所以，可得，由，可得，

由正弦定理，可得，

所以

，

当，即时等号成立，

可得面积的最大值是．

故选：C．

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．在锐角三角形中，不等式恒成立

C．若，则为等腰三角形

D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为

【答案】AB

【分析】由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．

【详解】中，，由得，A正确；

锐角三角形中，，∴，B正确；

中，若，则或，即或，为等腰三角形或直角三角形，C错；

中，若，，三角形面积，，，∴，，

∴，，D错．

故选：AB．

【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．

10．下列说法中正确的是（    ）

A．向量不能作为平面内所有向量的一组基底

B．非零向量满足且与同向，则

C．的外心满足，则为等腰三角形

D．设向量满足，则

【答案】AC

【分析】对A：判断是否平行；对B：向量不能比大小；对C：移项两边平方利用外心性质求得，

根据圆的性质判断的形状；对D：利用向量模长运算求解.

【详解】因为，所以，所以这两个向量不能作为平面内所有向量的一组基底，故项正确；

两个向量不能比较大小，故B项错误；

设外接圆的半径为，由，得，即，

所以，即.

由，得，

即，所以，

即，同理，由圆的性质可知，

所以为等腰三角形，故C项正确；

，故D项错误，

故选：AC.

11．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG：GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=2.下列结论正确的是（　　）

A．E，F，G，H一定共面

B．若直线EF与GH有交点，则交点不一定在直线AC上

C．AC∥平面EFGH

D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值2

【答案】AD

【分析】A根据等比例的性质可得；B、C由题设得、，若易得直线EF与GH有交点，结合点、线、面的关系判断交点位置即可确定正误；D由B、C的分析知EPGH为平行四边形，结合有EFGH为矩形，设并得到EFGH面积关于的函数关系，由二次函数性质求最值即可判断.

【详解】因为，则，又，则.

所以，即四点共面，A正确；

因为，所以，同理.

当时，

又，此时四边形EFGH为梯形，即直线EF与GH有交点，

交点在面ABC内，又在面ADC内，而面面，

所以直线EF与GH的交点在直线AC上，B错误，C错误；

因为及得：，四边形EPGH为平行四边形，

又，所以，故平行四边形EFGH为矩形.

设，因为，所以，而，

所以，

所以，

则矩形EFGH的面积，

可得，D正确.

故选：AD

12．锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，下列结论正确的是（    ）

A．A=2B B．B的取值范围为

C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】ACD

【分析】由正弦定理，三角函数的恒等变换可将条件化为，结合角的范围可得，即可判断A；由题意可得范围，可得，即可判断B；由正弦定理，二倍角公式可得，结合的范围，利用余弦函数的性质即可判断C；利用三角函数的恒等变换可得，又，可得，令，则，由对勾函数性质即可判断D．

【详解】，

由正弦定理可得，

又，

，即，

，

，，为锐角，

，即，故选项A正确；

，，，故选项B错误；

，，故选项C正确；

，

又，，

令，则，

由对勾函数性质可知，在，上单调递增，

又，（1），

，，故选项D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知，且，，则的值        .

【答案】/

【分析】由和的正切公式可求得，再求得，再根据的范围即可求出.

【详解】，

，

，

，

，.

故答案为：.

14．在中，，，且的内角B为直角，则的值为      ．

【答案】

【分析】根据题意，求出向量的坐标，结合，即可求解.

【详解】根据题意，得，因为为直角，所以，即.

故答案为：.

15．已知，且，则        ．

【答案】

【分析】由二倍角的余弦公式即可求解.

【详解】由，得，

即，

解得或，

因为，，

所以.

故答案为：

16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，，处测得阁顶端点的仰角分别为，，.且米，则滕王阁高度           米.

【答案】

【分析】设，由边角关系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长.

【详解】设，因为，，，

所以，，，.

在中，，

即①.，

在中，，

即②，

因为，

所以①②两式相加可得：，解得：，

则，

故答案为：.

四、解答题

17．已知.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出.

【详解】（1）由，可得；

所以；

即

（2）由可得，

又，所以

由可得.

即的值为

18．已知，.

(1)若与垂直，求实数的范围；

(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求，根据向量垂直的坐标表示运算求解；

（2）根据向量夹角与数量积之间的关系，结合坐标运算求解.

【详解】（1）因为，

若与垂直，则，解得，

所以实数的范围为.

（2）若与夹角为锐角，则，解得，

若与平行，则，解得，

若与夹角为锐角，则实数的取值范围.

19．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.

求证:（1）l∥BC;

（2）MN∥平面PAD．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先由BC∥AD证明BC∥平面PAD，再结合平面PBC∩平面PAD=l，由线面平行推出线线平行，即得证；

（2）取PD的中点E，连接AE，NE，可证明四边形AMNE是平行四边形，即 MN∥AE，由线线平行推线面平行，即得证

【详解】（1）∵▱ABCD

∴BC∥AD，

又BC平面PAD，平面PAD

∴BC∥平面PAD.

又∵平面PBC∩平面PAD=l，

平面PBC

∴l∥BC.

（2）如图，取PD的中点E，连接AE，NE.

则NE∥CD，且NE=CD，

又AM∥CD，且AM=CD，

∴NE∥AM，且NE=AM.

∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD，MN平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

20．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且的面积，

(1)求外接圆半径；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）对于，利用余弦定理和面积公式可得，对于，利用正弦定理和三角恒等变换可得，进而可得结果；

（2）利用正弦定理和三角恒等变换可得，结合正弦函数求其范围，进而可得结果.

【详解】（1）因为，则，整理得，

且，所以，

又因为，由正弦定理可得，

则，可得，

且，则，可得，

由可得，所以，

设外接圆半径为，

由正弦定理可得，则，

所以外接圆半径为2.

（2）由（1）可得，则，

可得

，

因为，则，可得，

所以，

可得，

所以的取值范围为.

21．如图：某公园改建一个三角形池塘，，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．

(1)若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；

(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当为正三角形时，求的面积的最小值．

【答案】(1)百米

(2)(百米)

【分析】（1）由余弦定理即可求得，在 中，确定，由余弦定理求得，即可求得答案；

（2）设正三角形DEF的边长a，，（）则可表示，，从而可由正弦定理表示出，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案.

【详解】（1）∵点P是等腰三角形PBC的顶点，且，，

∴且由余弦定理可得：，

解得，

又∵∴,

∵在 中，，,∴,

在△ACP中，由余弦定理得,

解得，；

∴，

∴连廊的长为百米．

（2）设正三角形DEF的边长a，，（）

则，，

设,

可得，，

∴，

在 中，由正弦定理得：，

即，即,

化简得：，

∴（其中，θ为锐角，且）

∴.

22．如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.

(1)若，求实数的值；

(2)求·的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；

（2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可

【详解】（1）由题意，

即，故，

因为Q为线段AP上一点，

设，又不共线，

所以，解得

所以；

（2），

由（1）知，，

，

所以

，

当时，，

所以的最小值为