2022-2023学年江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江苏省扬州市仪征市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，其中a，，i是虚数单位，则（    ）

A．-5 B．-1 C．1 D．5

【答案】B

【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a与b的值，则答案可求．

【详解】由，得，

∴，即，，

∴．

故选：B

2．在中，若，，，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件利用正弦定理直接计算即可判断作答.

【详解】在中，若，，，由正弦定理得：

，

所以.

故选：B

3．若函数的零点所在的区间为，则整数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】结合函数单调性，由零点存在性定理可得解.

【详解】由为增函数，且，

可得零点所在的区间为，所以.

故选：C.

4．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式及差角余弦公式，即可求值.

【详解】.

故选：C

5．已知正方形的边长为（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】A

【分析】用表示出目标向量，再利用数量积定义即可求得结果.

【详解】因为正方形的边长为3，，

则

.

故选：.

【点睛】本题考查向量数量积的求解，属基础题.

6．已知，且α为锐角，则cosα＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由α为锐角，得到α﹣的范围，求得cos（），再由α＝（）+，运用两角和的余弦公式求解.

【详解】因为，且α为锐角，

则﹣＜＜，

即cos（）＝＝，

则cosα＝cos[（）+]

＝cos（）cos﹣sin（）sin

＝（﹣）＝.

故选：C.

7．平面内三个单位向量，，满足，则（    ）

A．，方向相同 B．，方向相同

C．，方向相同 D．，，两两互不共线

【答案】A

【分析】根据，得，两边利用单位向量的平方等于1，即可求出，解得，方向相同.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以

所以，

所以，方向相同，

故选：A.

8．中若有，则的形状一定是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【分析】利用三角函数恒等变换公式对原式化简变形可得结论

【详解】由，得，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，因为，所以，

所以为直角三角形，

故选：B

二、多选题

9．已知复数(为虚数单位)，则（    ）

A． B．z对应的点在第一象限

C．z的虚部为 D．z的共轭复数为

【答案】AB

【分析】由复数的相关概念依次判断各选项即可得出结果.

【详解】由题意，因为z＝1＋，所以|z|＝＝，其对应的为在第一象限，且其虚部为1，其共轭复数为1－，

所以选项A，B正确，选项C，D错误，

故选：AB.

10．如图，每一个小方格边长为1个单位，在的方格纸中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（    ）

A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个

B．满足的格点共有3个

C．存在格点满足

D．存在格点，使得

【答案】BCD

【分析】将向量平移的过程中易知与是相反向量的共有18个，建立以为原点的平面直角坐标系，利用向量模长的坐标表示可解得有3个格点满足，有4个格点满足，且存在，使得.

【详解】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：

对于A选项，利用向量平移以及相反向量的概念可知，将向量分别向左、右、下各方向平移的过程中，

起点和终点都在图中的格点处的向量都与向量相等，取相反方向即可得出与是相反向量的共有18个，即A错误；

对于B选项，可设，且，易知，

则，所以，

解得，共3个，即格点共有3个，所以B正确；

对于C选项，若，即满足，

可得共4个，即存在格点满足，故C正确；

对于D选项，易知当时，满足，所以D正确.

故选：BCD

11．下列四个等式其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案.

【详解】A选项，

所以正确；

B选项，，，所以错误；

C选项，    ，所以错误；

D选项，

所以正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键.

12．已知满足，且的面积，则下列命题正确的是（    ）

A．周长为

B．三个内角满足关系

C．外接圆半径为

D．中线的长为

【答案】ABD

【分析】根据题意，设，利用余弦定理求得，得到，进而逐项判定，即可求解.

【详解】因为满足，

由正弦定理得，可设，其中，

又由余弦定理得，

因为，可得，所以，所以，所以B正确；

又因为的面积，可得，

解得，所以，

所以的周长为，所以A正确；

设的外接圆的半径为，可得，即，所以C错误；

在中，可得，

所以，

所以，即中线的长为，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若是关于x的实系数方程的一个根，则       ．

【答案】3

【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．

【详解】1－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，

可知1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，

∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．

故答案为：3．

14．设向量，且，则＝        .

【答案】

【详解】根据两向量垂直，可得，

解得.

故答案为：.

15．已知，且，求的值为     ．

【答案】/

【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.

【详解】，则，注意到

，于是

，不妨记

，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：

，而，于是

.

故答案为：.

16．斯特瓦尔特（Stewart）定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为、、，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为、、，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则      ．

【答案】/

【分析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦尔特定理可求得的长.

【详解】由及正弦定理可得，

，则，所以，，则，

，故，

，，由余弦定理可得，

，则，故，

由斯特瓦尔特定理可得，

因此，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，满足，，，的夹角为.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）；（2）26.

【分析】（1）根据数量积的定义直接求出答案；

（2）利用平面向量数量积的运算律直接运算即可得出答案.

【详解】解：（1）因为，，，的夹角为，

根据数量积的定义，；

（2）

.

18．已知复数（其中，，为虚数单位）

在①；②z为纯虚数；③z的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

(1)若______，求实数m的值；

(2)若复数的模为5，求实数m的值．

【答案】(1)选①, ; 选②, ; 选③, ;

(2)或.

【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；

（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解.

【详解】（1）若选①，因为，则，解得；

若选②，因为z为纯虚数，则，解得；

若选③，因为z的实部与虚部相等，则，解得.

（2）因为，

所以，

解得或.

19．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：(1)要求的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得，由于已知，所以，利用同角关系可得；（2）要求，由两角差的余弦公式我们知要先求得，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到.本题应该是三角函数最基本的题型，只要应用公式，不需要作三角函数问题中常见的“角”的变换，“函数名称”的变换等技巧，可以算得上是容易题，当然要正确地解题，也必须牢记公式，及计算正确.

试题解析：（1）由题意，

所以．

（2）由（1）得，，

所以．

【解析】三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式．

20．已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．

21．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知，，，.

(1)若时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)当为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

【答案】(1)；

(2)，最小值为.

【分析】（1）由已知可得则有，在△ACM中应用余弦定理求得，再分别求出，即可求护栏的长度.

（2）设，应用正弦定理及三角形面积公式可得，再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.

【详解】（1）由，，，则，

所以，，则，

在△ACM中，由余弦定理得，则，

所以，即，又，

所以，则，

综上，护栏的长度（△MNC的周长）为.

（2）设，

在△BCN中，由，得，

在△ACM中，由，得，

所以，

而，

所以，仅当，即时，有最大值为，

此时△CMN的面积取最小值为.

22．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知.以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，.

(1)求；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，再利用诱导公式及两角和差的余弦公式得到，再利用正弦定理将边化角，即可得解；

（2）连接､，依题意可得，，再利用面积公式得到，在和中分别利用余弦定理，即可得到，，从而求出，即可得解；

【详解】（1）解：由，

得，

即，

即

即，∵，∴，

由正弦定理得，

∵，∴，∴，

∵，∴.

（2）解：如图，连接､，则，，

正面积，∴，

而，则，

∴中，由余弦定理得：，

有，则，

在中，，，由余弦定理得，则，

∴，，∴，所以的周长为.