（9）锐角三角函数——2023年中考数学真题专项汇编
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（9）锐角三角函数——2023年中考数学真题专项汇编
1.【2023年湖北武汉】如图，在四边形ABCD中，,，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若，则的值是( )
A. B. C. D.
2.【2023年浙江杭州】第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（,,,）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，，连接BE.设，.若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为，，则( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.【2023年广西】如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约______m（结果取整数）.（参考数据：，，）
4.【2023年湖北武汉】如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将的放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为____cm（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）.
5.【2023年天津】综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.
如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上.
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为.
（1）求DE的长；
（2）设塔AB的高度为h（单位：m）.
①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；
②求塔AB的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）.
6.【2023年重庆A】为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向.（参考数据：,）
（1）求AD的长度.（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
7.【2023年河南】综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离，.求树EG的高度（结果精确到0.1 m）.
8.【2023年安徽】如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得R点的俯角为.求无人机从A点到点的上升高度AB（精确到0.1 m）.
参考数据：，，，，，.
9.【2023年陕西A】一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角为.已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点F、D、B在同一条直线上，，，.求该景观灯的高AB．（参考数据：，，
10.【2023年山西】2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022—2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1 m．参考数据：，）.
课题 | 母亲河驳岸的调研与计算 | ||
调查方式 | 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 | ||
调查内容 | 功能 | 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 | |
材料 | 所需材料为石料、混凝土等 | ||
驳岸剖面图 | 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE与CD均与地面平行，岸墙于点A，，，，， | ||
| 计算结果 | … | |
交流展示 | … | ||
11.【2023年江西】图(1)是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图(2)所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，，测得，，.(结果保小数点后一位)
（1）连接CD，求证：；
（2）求雕塑的高(即点E到直线BC的距离).
(参考数据：，，)
12.【2023年广东】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据，，)
13.【2023年福建】阅读下列材料，回答问题.
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1. 工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P,Q两点，可测得的大小，如图3. 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得,； （ⅱ）分别在AC,BC上测得,；测得.求解过程： 由测量知，，,, ，又①_________， ,. 又,②_________（. 故小水池的最大宽度为_________m. |
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是_________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程.
要求：测量得到的长度用字母a,b,c,表示，角度用,,表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）.
14.【2023年吉林】某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度 |
活动过程 |
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图（1）的测量草图，确定需测的几何量. |
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图（2）所示.准备皮尺. |
【步骤三】实地测量并记录数据 如图（3），王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点. 如图（4），利用测角仪，测量后计算得出仰角.__________. 测出眼睛到地面的距离AB. 测出所站地方到古树底部的距离BD.. |
【步骤四】计算古树高度CD.（结果精确到） （参考数据：,,） |
请结合图（1）、图（4）和相关数据写出的度数并完成【步骤四】.
15.【2023贵州】贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图（1）景区内修建观光索道.设计示意图如图（2）所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC，BC长为.索道AB与AF的夹角为，CD与水平线夹角为，A，B两处的水平距离AE为，，垂足为点F.（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到）.
（参考数据：，，，）
16.【2023年新疆】烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图（1））.某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图（2），无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为，测得烽燧BC的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度.
（参数据：，，，，，）
答案以及解析
1.答案：B
解析：如图，连接DB，DE，易证BA与圆相切于点A，又与圆相切于点E，，.又，，.，，.，可设，，，，.
2.答案：C
解析：设，，则，.，，，，.故选C.
3.答案：21
解析：，，，，，.，故共需钢材约21 m.
4.答案：2.7
解析：如图，分别过点B，C作OA的垂线，垂足分别为点D，E，则四边形BDEC为矩形，.易得，在中，，，.在中，，，OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7 cm.
5.答案：（1）3 m
（2）①；②11 m
解析：（1）在中，，，
.
答：DE的长为3 m.
（2）①在中，，
.
在中，由，，，
得，.
答：EA的长为.
②如图，过点D作，垂足为F.
根据题意，，四边形DEAF是矩形，
，，.
在中，，，
，即，
.
答：塔AB的高度约为11 m.
6.答案：（1）14千米
（2）小明应该选择路线①
解析：（1）如图，过点D作于点H，则四边形DHBC为矩形，
.在中，，
.
答：AD的长度约为14千米.
（2）如图，在中，，.
四边形DHBC为矩形，，.
在中，，
，.
路线①的长度为；
路线②的长度为.
，小明应选择路线①.
7.答案：9.1 m
解析：四边形ABCD为正方形，点D，A，E在一条直线上，
.由题意知，，，
.在中，.
在中，，，.
由题意知，，.
答：树EG的高度约为9.1 m.
8.答案：10.9米
解析：由题意，得，.
在中，，，
.
在中，，
，
.
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9 m.
9.答案：4.8 m
解析：如图，，，，，
.
过点E作，垂足为H，得矩形EFBH，
，.
在中，，
，，
该景观灯的高AB约为4.8 m.
10.答案：BC的长约为1.4 m，AB的长约为4.2 m.
解析：如图，过点E作于点F，则.
在中，，，，，
，
.
延长AB，DC交于点H，由题意得，，四边形AEFH是矩形，
，.
，.
在中，，，
，，
，
，
.
答：BC的长约为1.4 m，AB的长约为4.2 m.
11.答案：(1)证明见解析
(2)雕塑的高约为
解析：(1)证法一：
证明：，
，，
，
.
证法二：
证明：，
点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上，
，即.
(2)如图，过点E作于点F.
在中，，，
，
.
在中，，
.
答：雕塑的高约为.
12.答案：15.3 m
解析：如图，连接AB，过点C作于点D.
，，.
在中，.
.
答：A，B两点间的距离约为15.3 m.
13.答案：（1）①；②
（2）相似角形的判定与性质
（3）（ⅰ）
（ⅱ）
解析：（1）略
（2）略
（3）测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得，在点A处测得；
（ⅱ）用皮尺测得.
求解过程：
由测量知，在中，，，.
如图，过点C作，垂足为D.
在中，，
即，所以.同理，.
在中，，即，
所以，所以.
故小水池的最大宽度为.
14.答案：；古树高度CD约为.
解析：由题意，得四边形ABDE是矩形，
，.
在中，，
.
答：古树高度CD约为.
15.答案：（1）索道AB的长约为600米
（2）水平距离AF的长约为1049米
解析：（1）在中，.
答：索道AB的长约为600米.
（2）如图，延长BC交DF于点G，则，易得四边形BEFG是矩形，.
由题意可知.
在中，，
，
，
.
答：水平距离AF的长约为1049米.
16.答案：烽燧BC的高度为
解析：如图，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点E.
由题意易知，四边形ADBE是矩形，.
在中，，，
.
在中，，，
，
.
答：烽燧BC的高度为.
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