24届武汉高三数学九调导数压轴题目的命题背景

24届武汉九调导数压轴题目的命题背景

一．命题背景

若，设的两个极值点为，我们现在来统一双变量，将化成一元形式，首先来解决分子.注意到：

，则是方程的两个根（不妨设）.由，得，同理，由求根公式得：，，则，.于是

所以.

设，则只需证的性质即可.

二．原题分析

（2023年武汉九月调考T22）已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值．

解析：(2).

令,得.由题意,是关于的方程

的两个实根.所以.

由,有.

所以,将代入,

得,同理可得:.

所以

令,上式为.设,此时..

记.

记时,单调递增,所以.

所以单调递增,.所以在单调递减.

又.

此时.

由于

当且仅当且,即时,取到最大值4,即的最大值为2.所以的最小值为.

习题（23届泉州一诊）．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若在有两个极值点，求证：．

解析：（1）由，求导得，易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，

①当时，即，，则在上单调递增；

②当时，即或，令时，解得或，

当时，，则在上单调递减；

当或，，则在和上单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；

当或时，在上单调递减，

在和上单调递增.

（2）在上由两个极值点，或，且为方程的两个根，即，，，，即，

将，代入上式，可得：

，

由题意，需证，令，求导得，当时，，则在上单调递减，即，故.

参考文献：

[1].李红春，孔峰. 武汉市2019届高三二月调考压轴试题的解法与思考.[J].数学通讯.

2019.06.