五、圆锥曲线——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编

五、圆锥曲线——三年（2021-2023）高考数学创新真题精编

1. 【2023年上海卷】已知曲线，第一象限内的点A在上，设A的纵坐标是a.

(1)若点A到的准线的距离为3，求a的值；

(2)若，B为x轴上一点，线段AB的中点在上，求点B的坐标和坐标原点O到直线AB的距离；

(3)设直线，P是第一象限上异于A的一点，直线AP交直线l于点Q，点H是点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围.

2. 【2023年天津卷】已知椭圆的左、右顶点分别为，.右焦点为F，已知，.

(1)求椭圆的方程和离心率e；

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线交y轴于点Q，若的面积是面积的二倍，求直线的方程.

3. 【2022年新高考Ⅱ卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.

（1）求C的方程；

（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，.过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在AB上；②；③.

4. 【2021年全国甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交C于P，Q两点，且.已知点，且与l相切.

（1）求C，的方程.

（2）设，，是C上的三个点，直线，均与相切.判断直线与的位置关系，并说明理由.

5. 【2021年全国甲卷理科】已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最小值为4.

（1）求p.

（2）若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求面积的最大值.

6. 【2021年新高考Ⅰ卷】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

7. 【2021年新高考Ⅱ卷】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是.

8. 【2021年北京卷】已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交于点M，直线AC交于点N，若，求k的取值范围.

9. 【2021年上海卷】已知，，是其左右焦点，，直线l过点P交于A，B两点，点在x轴上方，其中A在线段BP上.

（1）若B是上顶点，，求m；

（2）若，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

（3）证明：对于任意，总存在唯一一条直线使得.

答案以及解析

1.答案：(1)

(2)

(3)

解析：(1)由题意，的准线方程为，，

则，得.

又，.

(2)由题意知，，

设，则AB中点的坐标为，代入，得，，

点B的坐标为.

则直线AB的斜率为，

直线AB的方程为，即.

坐标原点O到直线AB的距离为.

(3)由题意知，，

设，则，直线AP的斜率，

直线AP的方程为，

.

恒成立，

即恒成立.

当时，由得，则恒成立；当，即时，恒成立.

综上，a的取值范围是.

2.答案：(1)椭圆的方程为，离心率

(2)

解析：(1)如图，由題意可知，

故，则，

所以椭圆的方程为，

此椭圆的离心率.

(2)由题易知直线的斜率存在且不为0，

所以可设直线的方程为.

由，可得，

设，则由根与系数的关系可知，

即，则.

由直线交y轴于点Q可得，

所以，，

因为，所以，

①当时，，即有，

解得，不符合题意，舍去.

②当时，，即有，解得.

故直线的方程为.

3、（1）答案：

解析：由题意得，，

解得，，

所以双曲线C的方程为.

（2）答案：见解析

解析：设直线PQ的方程为，由题意知.

由得.，故，

故，，.

设，则，，

于是，.

因为，，

所以，.

因此，.

因此点M的轨迹方程为.

选择①②作为条件，证明③成立.

由可得直线AB的方程为.

点M的坐标满足，解得，.

设，，，.

由，解得，.

同理可得，.

于是，.

因此点M为AB的中点，即.

选择①③作为条件，证明②成立.

当直线AB的斜率不存在时，点M与点重合，此时点M不在直线上，矛盾.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，.

由，解得，.

同理可得，.

于是，.

因为点M在直线上，所以，即.

因此.

选择②③作为条件，证明①成立.

由可得直线AB的方程为，

设，，，.

由，解得，.

同理可得，.

设AB的中点为，则，.

因为，所以点M在AB的垂直平分线上，即M在直线上.

由，得，，

即M恰为AB的中点.

因此点M在直线AB上.

4.答案：（1）由题意，直线与C交于P，Q两点，且，

设C的焦点为F，P在第一象限，

则根据抛物线的对称性，，

所以，.

设C的方程为，则，得，

所以C的方程为.

因为圆心到l的距离即的半径，且距离为1，

所以的方程为.

（2）设，，，

当，，中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，满足条件，此时直线与相切.

当时，直线，

则，即，

同理可得，

所以，是方程的两个根，

则，.

直线的方程为，

设点M到直线的距离为，则，即，

所以直线与相切.

综上所述，直线与相切.

5.答案：（1）点到圆M上的点的距离的最小值为，解得.

（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，

设切点，，直线PA的方程为，又点在抛物线上，所以，所以，同理可得，，

联立从而得到.

设，

联立消去y并整理可得，

所以，即，且，，

所以.

因为，点P到直线AB的距离，

所以①，

又点在圆上，代入得，代入①得，，

而，

所以当时，.

6.答案：（1）因为，

所以轨迹C为双曲线右半支，设C的方程为，

所以解得

所以C的方程为.

（2）设，，，

设直线，

联立

整理得，

所以，，

，，

所以.

设直线，

同理可得，，

因为，

所以，化简得.

因为，所以，

即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

7.答案：（1）由题意得，，可得，

从而，

所以椭圆C的方程为.

（2）设，，若轴，由MN与相切可知，

直线MN的方程为，不过点F，不合题意，所以MN的斜率必存在且不为0.

设直线MN的方程为.

由直线MN与相切知，即.

将与椭圆方程联立，消去y，化简得，

.

由根与系数的关系得，，

所以

.

又，所以.（*）

若点M，N，F共线，则，即.

又，所以，代入（*）式可得

.

反之，若，则，

即，

整理得，又，所以.

又曲线为右半圆，则m与k异号，

所以，或，，

即MN的方程为或，经检验，都经过点F，

所以M，N，F三点共线的充要条件是.

8.答案：（1）因为椭圆E过点，故，

又因为以四个顶点围成的四边形面积为，

所以，

联立，解得，

故椭圆E的标准方程为.

（2）由题可知，直线l的斜率存在，且直线l的方程为，

设，.

联立，消y整理得，

，故或，

由韦达定理可得，，

，，

直线AB的方程为，令，则，故，

直线AC的方程为，令，则，故，

因为，所以同号，

因为，所以同号，

所以，

所以

，即，解得.

综上，k的取值范围为.

9.答案：(1)若B为上顶点，则，

因为，，，

所以.

(2)设点，

则，

因为A在线段BP上，横坐标小于0，

所以解得，

所以.

设直线l的方程为，

由原点O到直线l的距离为可得：

，

化简得，

解得或，

所以直线l的方程为或(舍去，无法满足)，

故直线l的方程为.

(3)联立直线与椭圆方程

得，

设，，

则，.

因为，

所以，

而，

所以化简可得.

而，

两边同时平方化简得

，

整理可得，

当时，，

而点A，B在x轴上方，

所以k有且仅有一个解，

所以对于任意，使得的直线有且仅有一条.