专题2.52 圆（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

这是一份专题2.52 圆（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版），共42页。
专题2.52 圆（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　）

A．8 B． C． D．
2．如图，矩形的顶点，在半径为5的上，，当点在上运动时，点也随之运动，则矩形的对角线的最小值为（    ）．

A． B． C． D．
3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（    ）

A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）
5．如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（   ）
  
A． B． C． D．5
6．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段、上，且与相切．若的面积为6，则的半径为（    ）
  
A． B． C． D．
7．如图，是的直径，点C是延长线上的一点，与相切于点D，连接．若，则（    ）

A． B．
C． D．
8．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（    ）

A．5 B． C． D．
9．如图，点是正方形和正五边形的中心，连接、交于点，则（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
  
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为 ．

12．已知中有弦，，，且四边形ABCD的面积为49，则的半径为 ．
13．如图，是的直径，点、是上的点．且，分别与、相交于点，．若的半径为，，点是线段上任意一点，则的最小值是 ___________．

14．如图，圆内接四边形，，对角线平分，过点作交的延长线于点，若，，则的面积为 ．

15．如图，已知点A的坐标是，的半径为1，切于点B，点P为上的动点，当是等腰三角形时，则点P的坐标为 ．
  
16．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号）
  
①；
②当时，点恰好落在弧上；
③当与半圆相切时，；
④当点从点运动到点时，线段扫过的面积是．
17．如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为点、点.则下列结论正确的是 .
①；②；③与相切；④若，，则.
  
18．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是 ．

三、解答题
19．如图， 是 外一点， 分别与 相交于 ．
（1） 平分 ；
（2）；
（3）；
（4）．
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．
  



20．如图1，⊙的直径的长为16，为半圆的中点，为劣弧上的一动点，和的延长线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．  
（1）求证：．
（2）以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则点的坐标为，设点的坐标为，若，是方程的两根，求的值．
（3）若，求的值．





21．如图，是的直径，弦平分交于点．交于点D．连接，．
  (1）求四边形的面积；
（2）求的长．





22．如图，四边形是正方形，点A，点B在上，边的延长线交于点E，对角线的延长线交于点F，连接并延长至点G，使．
（1）求证：与相切；
（2）若的半径为1，求的长．
  



23．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F．
（1）求证：
（2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
（3）探究线段、、之间的数量关系，并证明．







24．如图，在中，，，D是上的动点，以D为圆心，
的长为半径作圆交于点E，F，G分别是上的点，将沿折叠，点A与点E恰好重合． 
（1）如图1，若，求证：与直线相切．
（2）如图2，若经过点B，连接．
①的长是___．
②判断四边形的形状，并证明．


















参考答案
1．C
【分析】连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵P是直径上的动点，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∵(当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，
∴直径，
∴．
故选：C．

【点拨】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆的对称性解答是解题的关键．
2．A
【分析】如图，取的中点，连接，，在Rt中，为中点，，当时，最小，此时矩形的对角线最小. 、、三点共线时，最小，此时在Rt中，设，知道，长度，根据勾股定理建立方程，即可求解的长度，进而求得的长度.
【详解】解：如图，取的中点，连接，，

在Rt中，为中点，，
当时，最小，此时矩形的对角线最小，
∵，为弦，为中点，
∴在过的直径上，
而为圆心，则、、三点都在一条直线上；
故、、三点共线时，最小；
此时在Rt中，设，知道，，
有，
有，
解得，(舍去），
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键．
3．D
【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-OC．
【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．

【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．
4．C
【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+，MC=ON
在中，
由勾股定理得：



x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．

【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
  
由题意知，平分，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如图，连接交于，则，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
由勾股定理得，，
故选：A．
【点拨】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．D
【分析】设与相切与点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题；
【详解】解：如图所示，设与相切与点K，
由题意得，
由切线长定理可知，  
设正方形边长为，，则
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴的半径为，
故选D．
  
【点拨】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
7．B
【分析】连接．根据切线的性质可得出，根据直径所对圆周角为直角得出，结合题意易证为等边三角形，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理逐项计算判断即可．
【详解】解：如图，连接．

∵与相切于点D，
∴．
∵，
∴，，
∴，即．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，故B正确，符合题意；
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，故C错误，不符合题意；
∵是的直径，
∴．
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
8．D
【分析】取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取AB的中点E，作，取圆心O，连接OB、OC，

则
∵
设

解得：
∴
故选：D
【点拨】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
9．B
【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接、、、、，是正方形和正五边形的外接圆，

∵正方形内接于，
∴，
又∵正五边形内接于，
∴，
∴，
故选：B
【点拨】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答的前提．
10．A
【分析】利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：因为是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
  
， ，此时为最小值
连接，
平分，，

，
  
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故选：A．
【点拨】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
11．
【分析】如图，连接、、、，设与交于点，根据菱形的判定与性质可得，然后根据勾股定理及菱形的性质可得答案．
【详解】解：连接，设与交于点，

C，D为的三等分点，，
，
根据题意可得：，
四边形是菱形，
和互相平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的相关概念，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解本题的关键．
12．5
【分析】梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，设⊙O的半径为r，

∵AB＝6，CD＝8，
∴AEAB6＝3，CFCD8＝4，
在Rt△AOE中，OE；
在Rt△COF中，OF，
S梯形ABCD（AB+CD）•EF（6+8）×EF＝49，
∴EF＝7，
当点AB，CD在圆心O的异侧时，如图1所示：
EF＝OE+OF7，
解得r＝5；
当点AB，CD在圆心O的同侧时，如图2所示：
EF＝OE﹣OF7，无解
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论．
13．
【分析】作点关于的对称点，交于，连接，如图，求出的长，可得结论．
【详解】解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．

【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
14．
【分析】首先证明，再过点A作，垂足为点M，过点B作，垂足为点N．根据，分别求出，的面积，即可求得四边形的面积，然后通过证得，即可求得的面积=四边形的面积．
【详解】∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
过点A作，垂足为点M，过点B作，垂足为点N．

∴，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴
中，，

∵是等边三角形，



∴四边形的面积
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积=四边形的面积．
故答案为：
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15．，或
【分析】分情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别利用圆的基本性质、切线的性质等求解即可．
【详解】解：①过点作与相切，此时，连接，作轴于点，
    
根据题意易得，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
②当时，若点位于如图所示位置，
  
∵    
∴，又，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
满足，此时点的坐标为；
③当时，点的位置如图所示：
  
过点作轴于点，
由①知，，
∴，
∵，，即为的垂直平分线，
则满足，此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关键．
16．①②/②①
【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到，可判定①；连接、、，先求出，，从而求得，即可得出点恰好落在弧上，从而判定②；连接，先证明是等边三角形，从而可得，再由与半圆相切，则，从而求得，利用三角形的三线合一性质可得，可求出，即可判断③；根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积可判定④．
【详解】解：如图1，连接，
  
点与点关于对称，
，
，
，
，
，，
，
，
．故①正确；
连接、、，如图，
  
点与点关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，  
∴，
∵
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∵
∴四边形菱形，
∴，  
∴
∵为半圆的直径，
∴点恰好落在弧上，故②正确；
连接，，如图，
  
∵，，
∴，
，，
是等边三角形，
，
当与半圆相切时，则，
∴，
∴，
∵， ，
∴
∴
∴，故③错误；
如图，
  
点与点关于对称，点与点关于对称，
当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称，
扫过的图形就是图中三角形的面积与三角形的和，
∵，，，
∴，
∴
扫过的面积，故④错误．
故答案为：①②.
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、切线的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、含30角的直角三角形等知识．本题属于圆的综合题，综合性强，有一定的难度．
17．①③④
【分析】根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②；证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③；证明，，得出，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
  
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴
∴
∴，
∴，故①正确
∵不能确定
∴不一定成立，故②错误；
如图所示，连接，
  
∵，
∴
在中，

∴
∴
∴
∵是直径，
∴，
即，
∵
∴
∴
∴与相切，故③正确；
∵，，,
∴
∴，
在中，

∴
∴
∵，，
∴，故④正确
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．①②③④
【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接，可得，从而得到，进而得到∠BEC=120°，故②正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，故③正确；，得出，再由点为的中点，则成立，故④正确．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，故①正确；
如图，连接，

∵点是的内心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵点是的内心，
∴，
∵，
∴，  
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵点是的内心，
∴，  
∴，
∵点为的中点，
∴线段经过圆心O，
∴成立，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心的定义，圆周角定理，垂径定理及其推论是解题的关键．
19．见解析
【分析】可选条件为③④，结论为①②，由垂径定理可得，再证可得即可得到即证明②；再证可得即可证明②．
【详解】选条件为③④，结论为①②，证明如下：
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∵,
∴
∴,
∴平分．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，本题为开放性题目、可有多种组合，只要符合这四个已知条件即可．
20．(1)见解析；
(2)
(3)

【分析】（1）若求，连接是显然的，然后再讨论和，而发现这两个角都在圆外，而外部也无复杂图象包含它们，所以常规作法显然不好处理．故想到把它们也放在圆中，连接发现，，则若以为直径画圆，其圆必过、两点，则利用圆周角、对顶角性质可证恰与劣弧的圆周角相等，因为为中点，显然为，则结论易证．
（2）综合题，后问往往要用前问的结论，前问中，本题利用可求出中，与的关系．在利用根与系数的关系列出方程即可讨论，但要注意还有讨论两根存在的前提；
（3）连接、，过点作，垂足为，由，，设，利用勾股定理可以求出，然后根据即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，以为直径画圆．
  
，，
、两点必过以为直径的圆，
，
．
为劣弧的圆周角，且为半圆的中点，
∵为半圆的中点，
∴，
为劣弧的圆周角，
．
在中，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
，
、为方程的两根，
，，
，
∴，
解得或．
在第一象限，
，
舍去，
即此时为． ，
综上所述：
（3）如图3，连接、，过点作，垂足为，
  
由（1）可得，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题难度较高，考查了圆、三角形、一元二次方程根与系数关系及用勾股定理解三角形等相关知识，其中（1）辅助线的作法并不易想到，需要特殊留意．总体来说，综合性极高，学生一定要加强理解．
21．(1)
(2)

【分析】（1）四边形的面积可以分为两部分，分别求解两部分三角形的面积，即可求解；
（2）作，根据直角三角形的性质，分别求得，，即可求解.
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴,
又∵弦平分，
∴ ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得 ，
，解得，
∴ ，
；
（2）解：作，如下图：
  
由（1）得，，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，解得，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴.
【点拨】此题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质.
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据四边形是正方形，得到,从而得到是圆的直径，结合，，证明即可；
（2）连接，证明,从而证明，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是的直径，
∵，
∴，
  
∴，
故是的切线；
（2）如图，连接，
∵四边形是正方形，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析

【分析】（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝60°，即可解答；
（3）延长交于点，先证明是等边三角形，然后证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接PE，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，
∴∠BFD的度数为60°；
（3），理由如下：
延长交于点，

，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，，
，
连接，
四边形是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①；②菱形，证明见解析

【分析】（1）过点D作，交的延长线于点，证明即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出,再由弧长公式进行计算即可；②证明四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】（1）过点D作，交的延长线于点，如图，
  
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴与直线相切；
（2）①如图，
  
∵
∴，
∴，
∵，
∴,
∴的长是；
故答案为：；
②由折叠得，,
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
又,
∴四边形是菱形
【点拨】本题主要考查了切线的判定、弧长公式以及菱形的判定，证明四边形是平行四边形是解答本题的关键．