初中数学湘教版九年级上册3.5 相似三角形的应用达标测试

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专题13 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略
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目录
【典型例题】 1
【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1
【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 9
【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 17
【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 25
【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 32
【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 40

【典型例题】
【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为 ．

【答案】或或
【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
①当时，，，
若，
∴
则，
∴，
解得：；
若，
∴则
∴，
解得：
②当时，，，
同理可得或
解得：（舍去）或
综上所述，或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·辽宁丹东·校考一模）如图，在中，，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A→C→B匀速运动．当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．

【答案】秒或7秒或秒
【分析】分情况讨论：①当时，如图1，证明，利用相似三角形的性质，列方程可得t的值；
②当时，如图2，根据列方程可得t的值；
③当时，如图3，同①证明三角形相似可得t的值．
【详解】解：①当时，如图1，

由题意得：，
中，，
∴，
∴，
过Q作于D，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
②当时，如图2，

由题意得：，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图3，

过Q作于D，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，t的值是秒或7秒或秒．
故答案为：秒或7秒或秒．
【点睛】本题是几何动点问题，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性质和判定．分类讨论的数学思想是本题考查的重点，并与方程相结合解决问题．
2．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？

【答案】经过或秒时，与相似
【分析】设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则，，，
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为？
【答案】(1)；
(2)2或3．
【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．
（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．
（1）
解：由AO=6，BO=8，，
所以，
所以AP=t， AQ=，
①当∠APQ=∠AOB 时，△APQ∽△AOB
所以，
所以，
解得(秒)
②当∠AQP=∠AOB 时，△AQP∽△AOB
所以，
所以
解得(秒)
∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．
（2）
过点Q作QE⊥AO于点E，

∵QE⊥AO，BO⊥AO，
∴QEBO，
∴△AEQ∽△AOB，
∴
∴==，
=
解得：
∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．
4．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，，点E为的中点，动点F从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，连接．过点作的平行线交射线于点H，设点F的运动时间为t（不考虑、、在一条直线上的情况）．
  
(1)填空：当___________时，，此时___________；
(2)当与相似时，求t的值．
【答案】(1)2；2
(2)t的值为2或4或．
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
（2）由，利用相似三角形的性质求得，分当点F在点B的左边和点F在点B的右边时，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，点E为的中点，∴，
∵，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：；
故答案为：2；2；
（2）解：由得，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
当点F在点B的左边时，
即时，，
当时：，即，
解得：，；
当时：有，即，
解得：；
当点F在点B的右边时，即时，，
  
当时：，
即，
解得：(负值已舍)；
综上，t的值为2或4或．
【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．


【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】
例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）如图，菱形的边长为10，对角线相交于点O，，点P是上一点，，Q为上一动点，若以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形，则的长为 ．
  
【答案】8或或
【分析】分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据勾股定理及相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
当时，
∵，Q为上一动点，
∴点Q与点O重合，此时；
当时，如图，过点Q作于点F，则，
  
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当时，如图，过点P作于点E，
  
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为8或或．
故答案为：8或或
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为 ．

【答案】2或8
【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明，得到，设，列出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：设，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∴或8，
∴的长是2或8．
故答案为：2或8．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明，并注意有两个答案．
2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为 ．

【答案】或
【分析】分两种情形：如图1中，当时，四边形是正方形，设．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可；如图2中，当时，点N与D重合，设．利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图1中，当时，则四边形是正方形，

设．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2中，当时，则点N与D重合，

设．
∵，，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．

【答案】或或
【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解．
【详解】解：由翻折变换的性质得：，
，，，
∴ ，
设，则；
分三种情况讨论：①时，，
解得：，
；
②当时，在的垂直平分线上，
为的中点，
，
，
解得：，
；
③当时，作于，如图所示：

则，
，
又，
，
，
，
即，
解得：
；
综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 ．

【答案】或或6
【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可．
【详解】解：是直角三角形，有以下3种情况：
①如图1，，

∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ；
②如图2，，

∵，
同理得到，
∴，
∴，；
③如图3，，设，则，

同理得：，
∴，
∴，
∴；
综上的长是或或，
故答案为或或．
【点睛】本题考查直角三角形的相似问题，在不确定直角的情况下需要分类讨论分类计算，灵活利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．


【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】
例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为 ．
  
【答案】
【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解．
【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D，
则垂直平分，，
由勾股定理得：，
，
，，
解得，
，
过点作，交于点H，交于点P，
    
则，
，
，
此时，，有最小值，最小值为，
，
，
又，
，
，
得，
解得，
故的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形中，．点E是上的动点，点F是的中点相交于点G，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P；先通过判定、得到、；设,则，得到，即；说明点G在直线上且，的最小值为点A到直线的垂线段长度，最后根据两点间距离公式和二次函数的性质即可解答．
【详解】解：如图：分别以所在直线建立直角坐标系，作,延长交于点P

∵四边形为矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴,
∴
又∵分别是和对应边上的高
∴
∴
设,则
∴，即
∵
∴
∴
∴，即
∴，即
∵
∴点G在直线上且
∴的最小值为点A到直线的垂线段长度
∴
∵
∴
∴当时，有最小值，则的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识点，通过三角形的判定与性质得到点G在直线上且成为解答本题的关键．
2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为 ．
  
【答案】
【分析】取的中点，连接和，沿着翻折得到，，为的中点，，可得到，可证明，可得，故，从而得到，当点三点共线时，有最小值为．
【详解】解：取的中点，连接和，如图所示：
    
∵沿着翻折得到，
∴，
∵，E是BC中点，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点三点共线时，有最小值为，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
则的最小值为．
故填：．
【点睛】本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为 ．
  
【答案】
【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，由轴对称的性质可得，则，由此可得，，是等腰直角三角形，则；设与y轴交于N，过点E作轴于M，证明，得到，则，，证明四边形是平行四边形，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由轴对称的性质可得，则，，故当最小时，最小，即最小，即当E、F、G三点共线时，最小，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，则当最小时点P的坐标为，利用勾股定理求出，，则．
【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点F与点A关于直线对称，
∴，
∴，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
设与y轴交于N，过点E作轴于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
由轴对称的性质可得，
∴，
∴，
∵要使最小，即要使最小，
∴当最小时，最小，即最小，
∴当E、F、G三点共线时，最小，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴当最小时点P的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
  
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定最小的情形是解题的关键．


【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】
例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别求出点F在边上时，点F与点C重合时时，点F在边上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．
【详解】解：，
∴
∵四边形是正方形，
∴
点F在边上时，，
∴，
点F与点C重合时时，

，
∵四边形是正方形，
∴，

∴，
∴，解得x＝，
点F在边上时，

∵，

∴，即，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，当时，，
∴能反映S与x之间函数关系的图象是B，
故选：B．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（    ）
  
A．     B．   C．   D．  
【答案】B
【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
当点Q在时，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
当点Q在时，如图，
  
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，y关于x的函数图象大致是：
  
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于的函数关系式即可得出答案．
【详解】解：①当点与点重合时，
在正方形中，，
∴与或的延长线没有交点，不符合题意；
②当点在线段之间（点不与点、点重合），
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点移动的距离为，为，
∴，，，
∴，
∴，它的图像是反比例函数图像的一部分；
②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合，
∵，，
又∵，
∴，它的图像是一条线段；
∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：，
故选：C．

【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点的位置分情况讨论．
3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（    ）．
  
A．   B．  
C．   D．  
【答案】B
【分析】根据得，根据直线是线段的中垂线可得，，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得，再结合确定函数图像即可即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线是线段的中垂线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，可得，即函数图像为B选项．
故选B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得得到是解答本题的关键．


【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】
例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．
  
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．
【答案】(1)，
(2)四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意和坐标与图形性质直接求解即可；
（2）根据求解即可；
（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，，，又点B的坐标为，
则点P坐标为，点Q坐标为，
故答案为：，；
（2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化，
理由：∵点B坐标为，四边形是矩形，
∴，，
则四边形的面积



；
（3）解：当时，
∴，即，
解得：，
当时，
∴，即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．
（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；
（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．
  
【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4）
【分析】（1）通过证明全等，得到；
（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；
（3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可；
（4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：．理由如下：
延长相交于点H．
  
∵矩形、矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：
  
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴点G的运动路径长度为2，
故答案为：2．
（4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：
  
根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线，
∵，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时的值最小，最小值为，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
2．（2023春·江西鹰潭·九年级校考阶段练习）综合与探究
问题提出：
数学课上，老师提出了一个问题：在中，，于点D，E为上的一动点，与相交于点G，点F在上，于点E，试探究与的数量关系，并加以证明．
  
特例故知：
（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，，E为的中点，则与的数量关系为______．
变式探究
（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“”改为“”，其他条件不变，试探究与的数量关系，并加以证明．
拓展提高
（3）经过前两个小组的探究，智慧小组将该问题的条件更一般化：如图3，，，试探究与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析
【分析】（1）过点E作，垂足分别为，证明，即可得出结论；
（2）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可；
（3）过点E作，垂足分别为，证明，结合解直角三角形的知识进行解答即可．
【详解】解：（1）过点E作，垂足分别为，
  
∵，，，
∴，
∵，
∴和为等腰直角三角形，
∵E为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过点E作，垂足分别为，
  
同理可得四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴，
即；
（3）过点E作，垂足分别为，
  
同（2）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，运用类比的方法解题是本题的关键．


【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】
例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：
【初步认识】
(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；
【特例研究】
(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．
①求证：；
②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．
      
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②，理由见解析；
(3)或4．
【分析】（1）根据题可得、，然后根据同角的余角相等即可证明结论；
（2）①先证明可得，再说明是的中位线可得，再结合即可证明结论；②先说明和都是等腰直角三角形，进而得到，再说明可得可得、，即可得，进而得到即可证明结论；
（3）当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，证明，由相似三角形的性质得即可求出的长，进而求得的长；当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，同理解答即可
【详解】（1）证明： ，
．
．
，
．
．
  
（2）①．
，即．
，由（1）知，
．
．
∵M，F分别是，的中点，
是的中位线．
．
．
②，理由如下：
连接，，
由①知，，
．
，，
∴和都是等腰直角三角形．
，．
．
又为中点，M为中点，
，．
．
．
，．
，．
．
．
．
．
．
    
（3）解：①如图：当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，
  
,
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
,
∵，O为的中点，
∴，
同理：
，，
，
又，
∴，
∴，即，解得：
∴；
②如图：当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，
  
同理可得，即，解得：，
∴．
综上，的长为或4．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关判定和性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明

【基础巩固】
（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；
（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；
【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；
【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】②
【分析】（1）作，交的延长线于E，可证得，因此，再证，从而得出；
（2）延长至T，使，连接，可证得，，进而证得，进而证得，进一步得出结果；
（3）延长至Q，使，连接，作，交的延长线于D，由得出，由平分得出，不妨设，，则，由得出，进而得出．
【详解】（1）证明：如图1，

作，交的延长线于E，
，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
    
延长至T，使，连接，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
平分，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，

    
延长至Q，使，作，
，
，
平分，
，
不妨设，，
由上知：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
2．（2023·河南安阳·统考一模）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
    
(1)操作推断
如图1，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点 F，连接． 则 ．
(2)迁移探究
小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长交于点E，连接．
① ；
②小华用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现，请判断该发现是否正确？并说明理由．
(3)拓展应用
将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，如图3，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点 F．当时，直接写出的长．
【答案】(1)90
(2)①45；②正确，理由见解析
(3)AP长为或
【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答；
（3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：90．
（2）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵点P是正方形纸片的边的中点，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：45；
②判断正确，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
①当点F在的延长线上时，
∴，
    
设与交于E，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得： ，
∴．
②当点F在上时，
  
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴,
∴
∵，
∴，
∴，
∵沿折叠，使点A落在点M处，
∵,
∴，解得：．
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．