2023-2024学年广西柳州十五中八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西柳州十五中八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是(    )

A. 东经，北纬 B. 礼堂排号
C. 重庆市宏帆路 D. 港口南偏东方向上距港口海里

3.  下列命题中正确的是(    )

A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
B. 互补的两个角是邻补角
C. 在同一平面内，如果，，则
D. 两直线平行，同旁内角相等

4.  数学活动课上，小明想用三根木棒首尾顺次相接制作一个三角形模型，现有两根长度分别为和的木棒，则第三根木棒的长度可取(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，为实数，且，则的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了米．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在五边形中，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知是方程组的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，平分，，，，则下列结论：
；平分；；．
其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若点在轴上，则 ______ ．

12.  已知，，那么的平方根是______ ．

13.  如图，长方形的长为，宽为，将这个长方形向上平移个单位，再向左平移个单位，得到长方形，则阴影部分的面积为______ ．

14.  如图，为的中线，的周长为，的周长为，，则为______ ．

15.  空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是______ ．

16.  的两边与的两边分别平行，且是的余角的倍，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．

18.  本小题分
解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．

19.  本小题分
解答题．
某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额单位：元，将数据分组如下：
A.；
B.；
C.；
D.；
E.，
并将数据整理成如图所示的不完整统计图已知、两组户数在频数分布直方图中的高度比为：．
请根据以上信息，解答下列问题：
组的频数是多少？本次调查的样本容量是多少？
抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于元的有多少户？
求扇形统计图中组所占扇形的圆心角的大小．

20.  本小题分
如图，四边形中，，，点，分别在，上，将沿翻折，得，若，，求的度数．

21.  本小题分
现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨．
求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？
每台型机器人售价万元，每台型机器人售价万元，该公司采购，两种型号的机器人若干台，费用恰好是万元，求出，两种机器人分别采购多少台？

22.  本小题分
如图，，，．
求证：；
求证：．

23.  本小题分
阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图，对面积为的逐次进行以下操作：分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为，求的值．
小明是这样思考和解决这个问题的：如图，连接C、A、，因为，，，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以，由此继续推理，从而解决了这个问题．

直接写出 ______ 用含字母的式子表示．
请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图，为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点、、，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求的面积．
如图，若点为的边上的中线的中点，求与的比值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：、项东经，北纬的位置明确，故A不符合题意；
B、项礼堂排号的位置明确，故B项不符合题意；
C、项重庆市宏帆路无法确定物体的具体位置，故C项符合题意；
D、项港口南偏东方向上距港口海里的位置明确，故D项不符合题意；
故选：．
根据坐标确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．
本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，正确，符合题意；
B、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，不符合题意；
C、在同一平面内，如果，，则，故原命题错误，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．
故选：．
利用垂直的判定方法、邻补角的定义、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂直的判定方法、邻补角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．

4.【答案】 

【解析】解：两根长度为和的木棒，设第三根木棒的长度为，
，
即，
．
故选：．
根据三角形的三边关系求解．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的非负性和立方根以及偶次方的非负性，正确得出，的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出，的值，再利用立方根的定义求出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
则，
的立方根是：．
故选C．

6.【答案】 

【解析】解：，
他需要走次才会回到原来的起点，即一共走了米．
故选：．
由题意可知小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理．解题的关键是理解任何一个多边形的外角和都是．

7.【答案】 

【解析】解：四边形为五边形，
其内角和为，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
利用多边形的内角和公式求得五边形的内角和，再由平行线性质求得的和，继而求得的和，最后利用角的和差即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及平行线的性质，结合已知条件求得的和是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：将代入方程组得，
，
得，，
，
故选：．
将、的值代入方程组后，两式相加化简即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组解的问题，关键在于能够正确代入解并化简计算．

9.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
由，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数，的度数；又由，即可求得的度数，得到平分；又由，即可求得与的度数．
【解答】
解：，
，
，
平分，
，故正确；
，
，
，
，
平分，故正确；
，，
，
，
，
，故正确；
，，
，故错误．
故选：。

10.【答案】 

【解析】解：若，
由得，
解，得：，与不符，舍去；
若，
由得，
解得，
不等式组恰好有个整数解，
，
解得，
故选：．
分和两种情况，由得到关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得的取值范围．
本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据的取值范围列出相应的关于的不等式组，并解不等式组，结合整数解的个数得到关于的不等式组．

11.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
直接利用轴上点的坐标特点得出的值．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握轴上点的坐标特点是解题关键．

12.【答案】． 

【解析】解：，，
，
的平方根是．
故答案为：．
由算术平方根的概念，可得出答案．
本题考查算术平方根的概念，关键是掌握开平方的小数点移动规律．

13.【答案】 

【解析】解：如图，令、相交于点，、相交于点，

长方形向上平移个单位，再向左平移个单位，得到长方形，长为，宽为，
，，，，
，，
，
故答案为：．
令、相交于点，、相交于点，由平移的性质和长方形的性质可得，，，，从而得到，，最后由长方形的面积公式进行计算即可得到答案．
本题主要考查了平移的性质，长方形的面积的计算，熟练掌握平移前后的形状和大小没有发生变化，只是位置发生了变化，是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：是的中线，
．
的周长为，的周长为，
，
即．
故答案为：．
根据三角形的周长和中线的定义求与的差．
本题主要考查了三角形的角平分线、中线、高，把三角形的周长的差转化为已知两边、的长度的差是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于，

，，
，
又，
．
故答案为：．
延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．

16.【答案】或 

【解析】解：如图所示，
与的两边分别平行，
或，
是余角的倍，
，
当时，，
，
．
，
，
，
．
故答案为：或
根据平行线的性质易得；
根据平行线的性质易得；
由和的结论进行回答；
由是余角的倍进行计算，求出的度数．
本题考查了平行线性质和互为余角的两个角的关系：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两个角互为余角，则它们的和为．

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

不等式组的整数解为、、． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：、两组户数直方图的高度比为：，
两组的频数的比是：，
组的频数为，
组的频数是，
本次调查的样本容量为：，
答：组的频数是，本次调查的样本容量．
户，
答：每月用于“信息消费”的金额不少于元的有户；
，
答：扇形统计图中组所占扇形的圆心角为． 

【解析】根据、两组户数直方图的高度比为：，即两组的频数的比是：，据此即可求得组的频数；用、组频数和除以其所占百分比即可；
将、、组人数相加得出不少于元的户数；
用乘以组所占的百分比，即可得出组对应扇形的圆心角的度数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20.【答案】解：，，
，，
沿翻折得，
，
，
在中，

． 

【解析】根据两直线平行，同位角相等求出、，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．

21.【答案】解：设每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨，根据题意得：
，
解得：，
则每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物吨；
设种机器人采购台，种机器人采购台，
根据题意得：，
整理得：，即，
与都是大于或等于的整数，
当时，；
当时，；
当时，；
、两种机器人分别采购台，台或台，台或台，台． 

【解析】设每台型机器人每天搬运货物吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运吨，并且台型机器人和台型机器人每天共搬运货物吨”列方程组解答即可；
设种机器人采购台，种机器人采购台，利用费用恰好是万元，与都是大于或等于的整数，列二元一次方程，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系列出对应的方程组．

22.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：≌，
，，
≌，
，
，
． 

【解析】求出，根据全等三角形的判定和性质推出即可；
根据全等三角形的判定和性质推出即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，．

23.【答案】 

【解析】解：连接C、A、，

，，
，，，
，
，
同理可得出：，
；
故答案为；
过点作于点，

设，，
，
，
，
，即；
同理，，
．

，，

由，得，
；
设，，如图所示．

依题意，得，，
，
，
，
，
，
，
，
．
首先根据题意，求得，同理可求得，依此得到，，则可求得面积的值；
根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，列出方程组，从而不难求得的面积；
设，，依题意，得，得出，从而求解．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，三角形面积之间的关系．的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．