初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教课ppt课件

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教课ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了垂线段的长，实际问题，几何问题，角平分线的性质，DPEP，作射线OP，应用格式，位置关系，数量关系，OP平分∠AOB等内容，欢迎下载使用。
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，这个风筝主题公园应建于何处？
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
知识点1：角平分线的判定
这个点是否就在角的平分线上呢？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL).
∴∠AOP =∠BOP (全等三角形的对应角相等).
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？
解：作夹角的角平分线 OC，
在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求.
变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上，则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P.
那么这一点 P 是否到三边的距离都想相等呢？
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴ PD = PE. 同理，PE = PF.∴ PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在∠A 的平分线上.
变式2：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？
△ABC 的三条内角平分线交点处.
变式3：如果要在△ABC 区域外建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？(画出所有点)
到△ABC 三边所在的直线距离相等的点有____个.
例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.
则根据题目条件，可过点 D 作 BA，AC，BC 边上的辅助线.
证明：作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，DG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G，∵ DB 平分∠ABC，DC 平分∠ACH，∴ DE = DG，DF = DG.∴ DE = DF.又 ∵ DE⊥BA，DF⊥AC，∴ AD 是∠BAC 的外角平分线.
1. (西安阶段)如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是 ( ) A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_______上
判断一个点是否在角的平分线上
三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离_____
1. (西安期中)如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°.
2. (泰州校考) 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置? 在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).
3. (河源校考) 如图，AD = BD，∠CAD + ∠CBD = 180°，求证：CD 平分∠ACB.
证明：∵ 过点 D 作 DE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E，作 DF⊥CB 于点 F，如图所示：∴∠AED = ∠BFD = 90°.∵ ∠CAD + ∠CBD = 180°， ∠CAD + ∠EAD = 180°，∴ ∠CBD =∠EAD.