2022-2023学年四川省成都实验外国语学校西区九年级上学期期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年四川省成都实验外国语学校西区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2＝3x B． C．3xy+1＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．（4分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　）
A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm，
C．2cm，4cm，9cm，18cm D．4cm，5cm，6cm，7cm
3．（4分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直
4．（4分）若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x﹣3k＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（4分）已知方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．1或﹣1
7．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，掷得“两个正面，一个反面”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝3：2，BD：DC＝4：5，则AE：EC的值是（　　）

A．2：3 B．8：7 C．3：4 D．6：5
二.填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）若5a＝3b（a、b均不为0），那么b：a＝　 　．
10．（4分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣1＝0的一个根是1，则另一根是 　 　．
11．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若DE∥BC，，DE＝8cm，则BC的长为 　 　．

12．（4分）设a，b是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则a+b﹣ab＝　 　．
13．（4分）若a，b（a＜b）为菱形ABCD的两条对角线，且a，b为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，则菱形的周长为 　 　．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（16分）用适当方法解下列方程：
（1）4x2﹣1＝0；
（2）4y2﹣4y+1＝0；
（3）x2﹣6x﹣3＝0；
（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为4，求m的值．
16．（8分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交直线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为 　 　时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为 　 　时，四边形AMDN是菱形．

17．（8分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 　 　人，“散文”类所对应的圆心角的度数为 　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数；
（4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．
18．（10分）如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，为AP的中点，连接MN．若∠ACP＝∠ABD．
（1）求证：AC•MN＝BN•AP；
（2）若AB＝6，AC＝4，求BP的长．

一.填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知关于x的二次方程x2﹣2（a﹣2）x+a2﹣5＝0的两根为α，β，且αβ＝2α+2β，则a＝　 　．
20．（4分）如果m是从﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3七个数中任取一个数，那么关于x的方程的根为正数的概率为 　 　．
21．（4分）设，则一次函数y＝kx﹣k的图象一定过第　 　象限．
22．（4分）如图，△ABC中，点PQ分别在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，AD⊥BC于点D，交PQ于点E，且AD：BC＝2：3，连接MQ，若△ABC的面积等于75，则MQ的最小值为 　 　．

23．（4分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有　 　（把所有正确结论的序号都填上）．

二.解答题（共3小题，共30分）
24．（8分）已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出100件．市场调查发现，该产品每降价1元，每天可多卖出10件，由于供货方的原因每天销售不得超过180件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）该产品每件降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
25．（10分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．求证：BP＝CQ．
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，，求正方形ADBC的边长．

26．（12分）矩形ABCD的边长AB＝20cm，点E在BC上，把△ABE沿AE折叠，使点B落在CD边的点F处，∠BAE＝30°．
（1）如图1，求DF的长度；
（2）如图2，点N从点F出发沿FD以每秒1cm的速度向点D运动，同时点P从点A出发沿AF以每秒2cm的速度向点F运动，运动时间为t秒（0＜t＜10），过点P作PM⊥AD，于点M．
①请证明在N、P运动的过程中，四边形FNMP是平行四边形；
②连接NP，MN，当t为何值时，△MNP为直角三角形？
③连接NP，MN，记△PMN的面积为S，用含t的代数式表示S，求出当t为何值时S取得最大值，并求出最大值．













2022-2023学年四川省成都实验外国语学校西区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共32分）
1．【答案】A
【解答】解：A．x2＝3x为是一元二次方程，故此选项符合题意；
B．是分式方程，故此选项不符合题意；
C．3xy+1＝0为二元二次方程，故此选项不符合题意；
D．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：A、∵2×3.5≠3×2.5，∴四条线段不成比例；
B、∵×4≠3×3，∴四条线段不成比例；
C、∵18×2＝4×9，∴四条线段成比例；
D、∵4×7≠6×5，∴四条线段不成比例；
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：A、菱形的对角线相互平分，矩形的对角线也相互平分，不符合题意；
B、菱形的对角线有可能相等而矩形的对角线相等，不符合题意；
C、菱形的邻边不一定垂直，矩形的邻边互相垂直，不符合题意；
D、菱形点的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意．
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应角的角平分线之比为，
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：Δ＝（k﹣5）2﹣4×（﹣3k）＝（k+1）2+24，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+24＞0，即Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：由关于x的方程（a+1）x+（a﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，得
．
解得：a＝1．
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：根据题意画出树状图如下：

一共有8种情况，两个正面，一个反面的情况有3种，
所以，P（两个正面，一个反面）＝；
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H，

∵AG：GD＝3：2，BD：DC＝4：5，
∴，，
∵DH∥AC，
∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，
∴，，
∴AE＝DH，CE＝DH，
∴AE：EC＝＝，
故选：A．
二.填空题（每小题4分，共20分）
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为5a＝3b，则b：a＝5：3．
故答案为：5：3．
10．【答案】﹣3．
【解答】解：设方程的另一个根为x＝m，
则m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣3，
∴方程的另一个根为是﹣3．
故答案为：﹣3．
11．【答案】20cm．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝8cm，
∴BC＝DE＝×8＝20（cm），
∴BC的长为20cm，
故答案为：20cm．
12．【答案】4．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴a+b＝﹣3，ab＝﹣7，
∴a+b﹣ab＝﹣3﹣（﹣7）＝4．
故答案为：4．
13．【答案】20．
【解答】解：∵a，b为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，
∴a+b＝14，ab＝48，
∴（）2+（）2＝（a2+b2）＝（a+b）2﹣ab＝×142﹣×48＝25，
∴菱形的边长为＝＝5，
∴菱形的周长为4×5＝20．
故答案为：20．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．【答案】（1）；
（2）y1＝y2＝；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）4x2﹣1＝0，
4x2＝1，
x2＝，
；
（2）4y2﹣4y+1＝0，
（2y﹣1）2＝0，
2y＝1，
y1＝y2＝；
（3）x2﹣6x﹣3＝0，
x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝3+9，
（x﹣3）2＝12，
x﹣3＝，
x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
；
（4）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，
[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0，
（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，
（2﹣x）（3x﹣8）＝0，
2﹣x＝0或3x﹣8＝0，
．
15．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m＝2．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×（3m2）＝4m2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
解得：x1＝m，x2＝3m．
又∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为4，
∴3m﹣m＝4，
解得：m＝2，
∴m的值为2．
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）①5；
②10．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝DE，
∴△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）解：①当AM的值为5时，四边形AMDN是矩形．
理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10，
∵点E是AD边的中点，
∴AE＝AD＝5，
∴AM＝AE＝5，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EM＝MN，
∴MN＝AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是矩形．
故答案为：5；
②当AM的值为10时，四边形AMDN是菱形．
理由如下：
∵AB＝AD＝10，AM＝10，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴ME⊥AD，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴四边形AMDN是菱形．
故答案为：10．
17．【答案】（1）50；72°．
（2）见解答．
（3）800人．
（4）．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有20÷40%＝50（人），
“散文”类所对应的圆心角的度数为×360°＝72°．
故答案为：50；72°．
（2）喜欢“绘画”的学生人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人）．
补全条形统计图如图所示．

（3）2500＝800（人）．
∴估计该校喜欢“绘画”的学生人数有800人．
（4）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果有6种，
∴所选的两人恰好都是男生的概率为＝．
18．【答案】（1）见解析；
（2）BP的长2．
【解答】（1）证明：∵M为CP的中点，N为AP的中点，
∴MN是△ACP的中位线，
∴NM∥AC，MN＝AC，
∴∠A＝∠BNM，
又∵∠ACP＝∠ABD，
∴△ACP∽△NBM，
∴＝，
∴AC•MN＝BN•AP；
（2）解：∵AC＝4，
∴MN＝AC＝2，
设AN＝x，则AP＝2x，
∵AC•MN＝BN•AP，
∴4×2＝（6﹣x）2x，
解得x1＝3+，x2＝3﹣，
∴AP＝6+2（舍去），AP＝6﹣2，
∴BP的长2．
一.填空题（每小题4分，共20分）
19．【答案】3或1．
【解答】解：∵关于x的二次方程x2﹣2（a﹣2）x+a2﹣5＝0的两根为α，β，
∴αβ＝a2﹣5，α+β＝2（a﹣2），
∵αβ＝2α+2β，
∴a2﹣5＝2×2（a﹣2），
解得a1＝3，a2＝1，
故答案为：3或1．
20．【答案】．
【解答】解：将方程两边都乘以x﹣3，
得m＝2+x﹣3，解得；x＝m+1，
∵方程的根为正数，
∴m+1＞0且m+1≠3，则m＞﹣1且m≠2，
所以在所列的7个数中，能使此方程的解为正数的有0、1、3这3个数，
则关于x的方程 的根为正数的概率为：．
故答案为：．
21．【答案】一、三、四．
【解答】解：，
∴ak＝﹣a+b+c，bk＝a﹣b+c，ck＝a+b﹣c，
∴（ak+bk+ck）＝（﹣a+b+c）+（a﹣b+c）+（a+b﹣c），
解得k＝1，
∴y＝x﹣1，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象一定过第一、三、四象限，
故答案为：一、三、四．
22．【答案】5．
【解答】解：∵PQ∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥PQ，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
∴3AD＝2BC，

∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴PQ＝MN，PM＝ED，
∵AD＝BC，
∴AE+ED＝BM+MN+CN，
∴MN+QN＝BM+MN+CN，
∴QN＝BM+CN；
∵△ABC的面积等于75，
∴BC•AD＝75，
∵AD＝BC，
∴BC2＝75，
∴BC＝15，AD＝10，
设MN＝x，则BM+CN＝15﹣x，PM＝QN＝10﹣x，
∵MQ＝＝，
∴当x＝5时，MQ有最小值5．
故答案为：5．
23．【答案】①②④．
【解答】解：如图，连接DH，HM．
由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为①②④．
故答案为①②④．

二.解答题（共3小题，共30分）
24．【答案】（1）W与x之间的函数关系式是W＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤8且x为整数）；
（2）该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
【解答】解：（1）由题意可得，
W＝（60﹣40﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000，
∵供货方的原因每天销售不得超过180件，
∴100+10x≤180，
解得x≤8，
∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤8且x为整数）；
（2）∵W＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，0≤x≤8且x为整数，
∴当x＝5时，W取得最大值，此时W＝2250，
答：该产品每件降价5元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元．
25．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC＝∠ACQ；理由见解答过程；
（3）4+2．
【解答】（1）证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝60°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，
，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴BP＝CQ；
（2）解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC＝∠ACQ；理由如下：
在等腰△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC），
在等腰△APQ中，AP＝PQ，
∴∠PAQ＝（180°﹣∠APQ），
∵∠APQ＝∠ABC，
∴∠BAC＝∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴＝，
∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC＝∠ACQ；
（3）解：如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴＝，∠BAC＝45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴＝，∠PAQ＝45°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∵＝＝，
∴△ABP∽△ACQ，
∴＝＝＝，
∵CQ＝4，
∴BP＝CQ＝8，
设PC＝x，则BC＝AC＝8+x，
在Rt△APC中，AP2＝AC2+PC2，
即122＝（8+x）2+x2，
解得：x＝﹣4±2，
∵x＞0，
∴x＝﹣4+2，
∴正方形ADBC的边长＝8+x＝8﹣4+2＝4+2．
26．【答案】（1）DF＝10m；
（2）①证明见解答；
②当t＝5或8时，△MNP为直角三角形；
③当t＝5时，S取得最大值，最大值为．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
由折叠得：AF＝AB＝20m，∠FAE＝∠BAE＝30°，
∴∠FAD＝30°，
∴DF＝AF＝10m；
（2）①证明：由题意得：FN＝tcm，AP＝2tcm，
∵PM⊥AD，
∴∠PMA＝90°，
∵∠PAM＝30°，
∴PM＝AP＝tcm，
∴PM＝FN，
∵∠PMA＝∠D＝90°，
∴PM∥FN，
∴四边形FNMP是平行四边形；
②解：分三种情况：
a、当∠MPN＝90°时，PM⊥PN，如图所示：

∵PM⊥AD，AD⊥CD，
∴PN∥AD，PN⊥CD，
∴∠FPN＝∠DAF＝30°，∠PNF＝90°，
∴FN＝PF，
即t＝（20﹣2t），
解得：t＝5；
b、当∠PMN＝90°时，点N、M重合，不能构成△MNP；
c、当∠PNM＝90°时，如图所示：
过P作PH⊥FN于H，

则四边形PHDM是矩形，∠PHF＝∠PHD＝90°，PH∥AD，
∴PH＝DM，∠HPF＝∠DAF＝30°，
∴FH＝PF＝（10﹣t）cm，
∵ND＝DF﹣FN＝（10﹣t）cm，
∴FH＝ND，
∵∠D＝∠PHF＝90°，PH＝MD，
∴△DMN≌△HPF（SAS），
∴MN＝PF＝（20﹣2t）cm，∠DMN＝∠HPF＝30°，
∴∠NMP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠MPN＝90°﹣60°＝30°，
∴PM＝2MN＝（40﹣4t）cm，
∵PM＝tcm，
∴40﹣4t＝t，
解得：t＝8；
综上所述，当t＝5或8时，△MNP为直角三角形；
③S＝PM•DM＝t•（10﹣t）＝﹣（t﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝5时，S取得最大值，最大值为．