四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题

这是一份四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市蓉城名校2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题一、单选题1．已知集合，，则（　　）A． B． C． D．2．成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为（　　）A．10 B．6 C．5 D．33．设，则“”是“”的（　　）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（　　）A． B． C． D．5．已知函数在点处的切线方程为，则的值为（　　）A． B． C．1 D．6．已知正实数，满足，则下列不等式中错误的是（　　）A． B．C． D．7．若满足约束条件则的最大值是（　　）A．5 B．10 C． D．208．已知函数，则（　　）A．4 B．8 C．16 D．329．已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（　　）A． B．C． D．10．已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．11．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（　　）A．1 B． C． D．12．如图，已知椭圆和双曲线有公共的焦点，，的离心率分别为，且在第一象限相交于点，则下列说法中错误的是（　　） ① 若，则；② 若，则的值为1；③的面积；④ 若，则当时，取得最小值2．A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空题13．若复数满足，则　     　．14．函数的单调递减区间为　         　．15．已知直线与离心率为的双曲线的一条渐近线平行，则所有可能取的值之和为　     　．16．已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是　         　．三、解答题17．设是函数的两个极值点，且．（1）求的值；（2）求在区间上的值域．18．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日8月8日在成都市举行，全民运动成为新风尚．某体育用品店统计了2023年15月份运动器材销量y（单位：千套）与售价x（单位：元）的情况，如下表所示：月份12345器材售价x（元）10090807060销量y（千套）57.58910.5（1）请建立y关于x的线性回归方程（精确到0.001），并估计当该器材的售价为50元时销量为多少千套？（2）为了解顾客对器材的使用满意度情况，该店拟从3名男顾客和2名女顾客中随机抽取2人进行调研回访，求选中的两位顾客为男女各1人的概率．参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．（1）证明：平面平面；（2）若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围．20．已知在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，的面积为，离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线与圆相切，且l与椭圆C相交于两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．21．已知函数，，．（1）当时，证明：时，恒成立；（2）若在处的切线与y=-x-1垂直，求函数在区间上的值域；（3）令，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）若点，直线l与圆相交于两点，求的值．
答案解析部分1．【答案】A【知识点】交集及其运算；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法【解析】【解答】，
，
，
所以集合.
，
，
所以集合，
.
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合A，根据对数函数的定义域求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.2．【答案】A【知识点】分层抽样方法【解析】【解答】由题意可知，四川大学人数占总人数的，
从中抽取16名同学，按照比例关系可知：（人）.
故答案为：A.
【分析】先求出四川大学人数占总人数的比例，再根据需要抽出的数量，将两者相乘，得到四川大学抽取的人数.3．【答案】B【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性：
，
，
，
故是的充分条件.
必要性：
，
，
，
或，
所以不一定能得到，
故是的不必要条件，
综上是的充分不必要条件.
故选：B.
【分析】先证明代入条件证明充分性，再通过因式分解证明必要性.4．【答案】B【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】，
，
，
.
故选：B.
【分析】画图分析，得到向量之间的夹角，结合平面向量数量积的运算，求出最后值.5．【答案】C【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】，


.
.
所以在点A处切线方程的斜率为1.
.
故选：C.
【分析】先对函数进行求导得到，再代入切点A坐标可得切线方程的斜率，即a的值.6．【答案】D【知识点】基本不等式【解析】【解答】为正实数，且，
，
，
因此A选项正确.
，
，
，
因此B选项正确.
，
，
，
当m=n+1时，取“=”号，m=1，n=0.
又因为，不能取“=”，
.
因此C选项正确.
，

故选：D.

【分析】本题主要结合，四个常见的基本不等式，，对四个选项分别进行分析，求得变量范围，同时要注意取值范围.7．【答案】D【知识点】简单线性规划；圆方程的综合应用【解析】【解答】由题意可知，
z表示以（0，0）为圆心的半径的平方.
下面对三个条件，两两组合，联立方程组，
，
交点A(1，2)，
，
交点B(3，1)，
，
交点C(2，4)，
由此可知最大值为（0，0）到C(2，4)的距离的平方，
因此，
故选：D.
【分析】首先根据表达式，可知z表示以（0，0）为圆心的半径的平方，再由约束条件的形成的可行域，得到三个交点，得到z最大值.8．【答案】C【知识点】函数的周期性；指数函数综合题【解析】【解答】当x=-2时，，
，
当x=-2时，，
，
，
，
故选：C.
【分析】首先根据分段函数的解析式，可知时，f(x)是周期函数，求出f(-2)的值，再根据时，指数函数表达式，求出f(f(-2))值.9．【答案】A【知识点】函数的图象与图象变化；函数的奇偶性【解析】【解答】根据函数图象，可知f(x)是偶函数，关于y轴对称，
，
B选项：，因此B不正确，
D选项：，因此D不正确，
C选项：，
，
在上单调递减，在上单调递增，
所以C选项，f(x)图像不符合题意.
故选：A.
【分析】首先根据奇偶性，排除B、D选项，再对C选项函数求导，根据图像的单调性，可知C选项不正确，得到最后答案.10．【答案】D【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】，

设，
分别作出如下图像：


所以f(x)函数图象是以D(1，0)，半径为1的半圆
当相切时，只有一个交点，

圆心D(1，0)到直线的距离，

，此时只有一个交点，
由题意可知函数图象有两个不等的实根，

当图像过点B时，
代入B(2，0)得，
但时，
，
时，有两个不同根.
故选：D.

【分析】首先结合将方程进行化简，得到两个函数，结合图像存在两个不同的交点，利用点到直线距离公式，求出m范围.11．【答案】C【知识点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的性质【解析】【解答】外接球表面积为，
，
，
底面ABC，
，
，
平面PAC，
，
是直角三角形，
是直角三角形PCB和直角三角形PAB的公共斜边，
是外接球的直径，
，
在中，，
，
.
故选：C.
【分析】首先根据外接球的表面积公式，求出球半径，再根据空间几何性质，证明PB是两个直角三角形的共同斜边，得到球直径，然后根据勾股定理，求出PA，AC，最后求出BC.12．【答案】D【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用；双曲线的标准方程；双曲线的应用【解析】【解答】由于椭圆和双曲线有公共的焦点，
c相同，
，
①，

，

，
故①正确.
②，
点P既在椭圆上，又在双曲线上，
，
，
，
故②错误.
③ 由题意知，，

联立方程组，求，

，
，
，
，
，

故③正确.
④ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，即时，取“=”.
故④错误.
故选：D.
【分析】首先根据椭圆和双曲线有共同焦点，可知c相同，从而得到a，b，m，n的关系，得出①③正确；结合椭圆上点到两个焦点的距离之和公式与双曲线上点到两个焦点的距离之差，可知②错误；利用余弦定理，结合基本不等式，说明④正确.13．【答案】-1【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】，
，
，
，
，
，
故值为-1.
【分析】代入复数z的表达式，将z与1-i进行相乘，根据等式的性质，一一对应可知a、b之间关系的方程组，求出a、b值，故得.14．【答案】【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】，
，
设，
，
又因为lnx的定义域为，
，
故为.

【分析】首先对y进行求导，利用导数求函数的单调减区间，结合对数函数本身的定义域，得到最后的减区间.15．【答案】0【知识点】用斜率判定两直线平行；双曲线的简单性质；双曲线的应用【解析】【解答】由题意可知，双曲线的离心率，且，
，
，
，
渐近线为，
，
，
，
，
故m所有可能取的值之和为0.

【分析】首先根据双曲线中离心率得到a、c关系，再根据，得到a、b、c的值，求出渐近线方程，再将直线方程化简为一般式，由平行可知斜率相等，求出m所有值.16．【答案】（0，1）【知识点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】有两个不相等的零点，
设
，
，
，
设，所以，
，
.
设下面求导，
，
，
因为，
，
说明单调递增.
又因为当时，，
，
在上单调递增，
，
，
，
，
.
故填：（0，1）.
【分析】先根据题意有两个不同零点，设出，，代入f(x)连理方程组，再根据化简结果，构造新的表达式，然后求导，这里会利用到两次求导，根据单调性，求出表达式的值域.17．【答案】（1）解：，， 由，因为是函数的两个极值点，可知，，解得；经检验符合题意（2）解：， 令可得：；令可得：，所以在上单调递增，在上单调递减，列表如下：013 　0 　1单调递减极小值单调递增10在区间上的最大值为，最小值为在区间上的值域为．【知识点】简单复合函数求导法则；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】(1) 由题意知，f(x)存在极值点，对f(x)进行求导，再对求导后的函数解析式，结合韦达定理，得到和值.(2) 由(1)中的一次导数，求出单调递增区间和单调递减区间，得到f(x)的极值点，结合单调性求出最两个值.18．【答案】（1）解：，， 则，，关于x的线性回归方程为：，当时，（2）解：设男顾客为A、B、C，女顾客为a、b，则可能的组合有： 共10种情形，其中一男一女的有6种，故选中的两位顾客为男女各1人的概率为．【知识点】最小二乘法；线性回归方程；概率的应用【解析】【分析】(1)首先根据最小二乘估计，求出斜率和截距，从而代入得到线性回归方程.
(2)排列组合，枚举所有组合，再根据符合情况，得到概率比值.19．【答案】（1）解：在中，， 为直角三角形且，又底面是矩形，则，，且均含于面QAD内平面，又平面，平面平面（2）解：在平面内，取中点为，过点作，交于点，，， 由题意可得平面，且平面，则，直线两两互相垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，则，，又，则，，与平面所成角的正弦值的取值范围为．【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)首先根据勾股定理，证明，再结合题目所给条件，可以证出线面垂直，再进一步得到面面垂直.(2)首先从线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，结合空间向量，得到线面的正弦值范围.20．【答案】（1）解：由题意可知：，可得，， 所以椭圆C的方程为：（2）解：设直线的方程为，，，
 由，得，联立，得，恒成立，则，所以，，因为的取值范围为，
 则，解得，所以，，因为，则，所以，所以的取值范围为．【知识点】平面向量的坐标运算；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质【解析】【分析】（1）首先从椭圆的基本性质，结合离心率公式，联立方程组，求出a，b，c值，代入得椭圆的方程.（2）由题意知，直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到m、k的关系式，再由直线与椭圆存在两个交点，根据根的判别式和韦达定理，求出MN范围，得到k范围，最后结合向量的数量积，求出最终取值范围.21．【答案】（1）证明：当时，，恒成立， 函数在单调递增，，即当时，恒成立；（2）解：，由题意得，，， ，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上的最小值为，，，，函数在区间上的值域为；（3）解：由题意，有两个不同的零点，则不可能为， 所以，设，则问题转化为与的图像在上有两个交点又，设，，所以在上单调递减，且，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，结合图像，可知，故，所以的取值范围是．【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）当a=1时，对f(x)求导，利用导数的单调性，找出f(x)最小值，从而证出结论.
（2）首先对g(x)求导，得到g(x)在处的切线斜率，再根据切线和另外一条直线方程垂直，斜率积为-1，得到a值，最后根据导数求出区间上的单调性，求出g(x)的最值.
（3）根据h(x)有两个不同零点，进行参变量分离，再对复合函数进行求导，结合单调性画出函数图象，再结合图像，得到a的范围.22．【答案】（1）解：由圆的参数方程（为参数）得： ，根据，则圆的极坐标方程为：（2）解：把直线l的参数方程代入圆的方程得， 设A，B两点对应的参数分别为，则，，．【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程；直线的参数方程；圆的参数方程【解析】【分析】（1）根据参数坐标与直角坐标转换，得到圆的标准方程，再根据直角坐标与极坐标转换，得到圆的极坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得到t的方程，利用韦达定理，得到两根之和与两根之积，代入得到的值．