2024贵阳高三上学期开学考试数学试题含解析

贵阳市2024届高三年级摸底考试试卷

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将姓名、报名号、座位号用钢笔填写在答题卡相应位置上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试通卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合是目要求的．

1. 已知全集，集合，，则下图阴影部分所对应的集合为（    ）

A.  B.  C. 或 D.

2. 已知（为虚数单位），则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

3. 2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城．周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”．节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲．在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知等差数列的前项和为．若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（    ）

A. 4 B.  C. 8 D.

8. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知二项式展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（    ）

A. 展开式共有7项 B. 所有二项式系数的和为128

C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式的常数项为

10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 奇函数 B. 在区间内有最大值

C. 的周期是 D. 在区间内有一个零点

11. 已知曲线：焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（    ）

A. 若，则的内切圆半径的最大值为

B. 若，则曲线的焦点坐标分别是，

C. 若曲线的离心率为，则或

D. 若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则

12. 如图，一块边长为正方形铁片上有四个以为顶点的全等的等腰三角形（如图1），将这4个等腰三角形裁下来，然后用余下的四块阴影部分沿虚线折叠，使得，重合，，重合，，重合，，重合，，，，重合为点，得到正四棱锥（如图2）．则在正四棱锥中，以下结论正确的是（    ）

A. 平面平面

B. 平面

C. 当时，该正四棱锥内切球的表面积为

D. 当正四棱锥的体积取到最大值时，

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______．

14. 已知随机变量，其中，则___________.

15. 若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．

16. 如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为______．

四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 设为数列的前项和．已知．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

18. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、．

①；②；③．

在以上三个条件中选择一个，并作答．

（1）求角；

（2）已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．

19. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．

（1）设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率：

（2）若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级概率．

20. 如图，是正三角形，四边形是矩形，平面平面，平面，点为中点，，．

（1）设直线为平面与平面的交线，求证：；

（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．

21. 在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．

22. 牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．

（1）当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；