2023八年级数学上册第十五章分式单元测试含解析新版新人教版

《第15章 分式》

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内）

1．在，，，中，是分式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）

A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍

3．分式有意义的条件是（　　）

A．x≠0 B．y≠0 C．x≠0或y≠0 D．x≠0且y≠0

4．下列约分正确的是（　　）

A． B． =﹣1

C． = D． =

5．化简的结果是（　　）

A． B．a C．a﹣1 D．

6．化简：的结果是（　　）

A．2 B． C． D．

7．化简，可得（　　）

A． B． C． D．

8．甲、乙两班参加植树造林，已知甲班每天比乙班每天多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植x棵，根据题意列出的方程是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上）

9．当x=　　时，分式没有意义．

10．化简： =　　．

11．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为　　．

12．已知x=2012，y=2013，则（x+y）•=　　．

13．观察下列各等式：，，，…根据你发现的规律，计算： =　　（n为正整数）．

14．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是　　．

15．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是　　千克．

16．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程　　．

三、解答题（本大题共5小题，共36分）

17．化简： +．

18．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．

19．解方程：

（1）+1=

（2）=﹣2．

20．已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．

21．某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？

《第15章 分式》

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内）

1．在，，，中，是分式的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】分式的定义．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．

故选B．

【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故不是分式．

2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）

A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍

【考点】分式的基本性质．

【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，

得==，

可见新分式与原分式相等．

故选A．

【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．

规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

3．分式有意义的条件是（　　）

A．x≠0 B．y≠0 C．x≠0或y≠0 D．x≠0且y≠0

【考点】分式有意义的条件．

【分析】分式有意义的条件是分母不为0，则x2+y2≠0．

【解答】解：只要x和y不同时是0，分母x2+y2就一定不等于0．

故选C．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．

4．下列约分正确的是（　　）

A． B． =﹣1

C． = D． =

【考点】约分．

【分析】根据约分的步骤把分子与分母中约去公因式，分别对每一项进行判断即可．

【解答】解：A、不能约分，故本选项错误；

B、=1，故本选项错误；

C、不能约分，故本选项错误；

D、=，故本选项正确；

故选D．

【点评】此题考查了约分，关键是找出分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要把分子与分母分解因式，然后再约分，同时要注意一个分式约分的结果应为最简分式即分子和分母没有公因式．

5．化简的结果是（　　）

A． B．a C．a﹣1 D．

【考点】分式的乘除法．

【分析】本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．

【解答】解： =×=a．

故选B．

【点评】分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．

6．化简：的结果是（　　）

A．2 B． C． D．

【考点】分式的混合运算．

【分析】先把括号中的第二个分式约分，再利用乘法分配律把（x﹣3）分别与括号中的式子相乘可使计算简便．

【解答】解：

=（﹣）•（x﹣3）

=•（x﹣3）﹣•（x﹣3）

=1﹣

=．

故选B．

【点评】归纳提炼：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

7．化简，可得（　　）

A． B． C． D．

【考点】分式的加减法．

【分析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．

【解答】解： ==．

故选B．

【点评】本题考查了分式的加减运算，题目比较容易．

8．甲、乙两班参加植树造林，已知甲班每天比乙班每天多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植x棵，根据题意列出的方程是（　　）

A． B． C． D．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】关键描述语是：“甲班植80棵树所用的天数比与乙班植70棵树所用的天数相等”；等量关系为：甲班植80棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数．

【解答】解：若设甲班每天植x棵，

那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为：，

乙班植70棵树所用的天数应该表示为：．

所列方程为：．

故选D．

【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题应该抓住“甲班植80棵树所用的天数比与乙班植70棵树所用的天数相等”的关键语．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在题中横线上）

9．当x=　3　时，分式没有意义．

【考点】分式有意义的条件．

【专题】计算题．

【分析】分式无意义的条件是分母等于0．

【解答】解：若分式没有意义，则x﹣3=0，

解得：x=3．

故答案为3．

【点评】本题考查的是分式没有意义的条件：分母等于0，这是一道简单的题目．

10．化简： =　x+y　．

【考点】分式的加减法．

【专题】计算题．

【分析】同分母相减，分母不变，分子相减，要利用平方差公式化为最简分式．

【解答】解： ==x+y．

【点评】本题考查了分式的加减法法则．

11．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为　7×10﹣7　．

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【专题】常规题型．

【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．本题0.000 000 7＜1时，n为负数．

【解答】解：0.000 000 7=7×10﹣7．

故答案为：7×10﹣7．

【点评】本题考查了用科学记数法表示一个较小的数，为a×10n的形式，注：n为负整数．

12．已知x=2012，y=2013，则（x+y）•=　﹣1　．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=（x+y）•

=，

当x=2012，y=2013时，原式==﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

13．观察下列各等式：，，，…根据你发现的规律，计算： =　　（n为正整数）．

【考点】分式的加减法．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】本题重在理解规律，从规律中我们可以发现，中间的数值都是相反数，所以最后的结果就是，化简即可．

【解答】解：原式=2（1﹣）+2（﹣）+2（﹣）…+2（﹣）=2（1﹣）=．故答案为．

【点评】本题主要是利用规律求值，能够理解本题中给出的规律是解答本题的关键．

14．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是　6　．

【考点】分式方程的应用．

【专题】应用题．

【分析】根据题意，得到甲、乙的工效都是．根据结果提前两天完成任务，知：整个过程中，甲做了（x﹣2）天，乙做了（x﹣4）天．再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解．

【解答】解：根据题意，得

=1，

解得x=6，

经检验x=6是原分式方程的解．

故答案是：6．

【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

本题应用的公式有：工作总量=工作时间×工效．

弄清此题中每个人的工作时间是解决此题的关键．

15．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是　24　千克．

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】比例分配问题；压轴题．

【分析】由题意可得现在A种饮料的重量为40千克，B种饮料的重量为60千克，可根据“混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同”来列等量关系．

【解答】解：设原来A种饮料的浓度为a，原来B种饮料的浓度为b，从每种饮料中倒出的相同的重量是x千克．

由题意，得=，

化简得（5a﹣5b）x=120a﹣120b，即（a﹣b）x=24（a﹣b），

∵a≠b，

∴x=24．

∴从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．

故答案为：24．

【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，当一些必须的量没有时，可设出相应的未知数，只把所求的量当成未知数求解．找到相应的等量关系是解决问题的关键．

16．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程　或　．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】所求的是原计划的工效，工作总量是300，一定是根据工作时间来列的等量关系．本题的关键描述语是：“后来每天的工效比原计划增加20%”；等量关系为：结果共用30天完成这一任务．

【解答】解：因为原计划每天铺设x（m）管道，所以后来的工作效率为（1+20%）x（m），

根据题意，得

=30．

或

故答案为：或．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=按原计划的工效铺设120m的天数+后来的工效铺设的天数．

三、解答题（本大题共5小题，共36分）

17．化简： +．

【考点】分式的混合运算．

【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：原式=+•

=+

=

=．

【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

18．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．

【考点】分式的化简求值．

【专题】计算题．

【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．

【解答】解： =（2分）

=；

当x﹣3y=0时，x=3y；

原式=．（8分）

【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

19．（2015秋•邢台期末）解方程：

（1）+1=

（2）=﹣2．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：4x+2x+6=7，

移项合并得：6x=1，

解得：x=，

经检验是分式方程的解；

（2）去分母得：1﹣x=﹣1﹣2（x﹣2），

去括号得：1﹣x=﹣1﹣2x+4，

移项合并得：x=2，

经检验x=2是增根，故原方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

20．已知：，试说明不论x为任何有意义的值，y值均不变．

【考点】分式的混合运算．

【专题】证明题．

【分析】先把分子分母分解因式再化简约分即可．

【解答】证明：

=

=x﹣x+3

=3．

故不论x为任何有意义的值，y值均不变．

【点评】本题主要考查了分式的混合运算能力．

21．某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？

【考点】分式方程的应用．

【专题】应用题．

【分析】设原计划每天修水渠x米．根据“原计划工作用的时间﹣实际工作用的时间=20”这一等量关系列出方程．

【解答】解：设原计划每天修水渠x米．

根据题意得：，

解得：x=80．

经检验：x=80是原分式方程的解．

答：原计划每天修水渠80米．

【点评】本题考查了分式方程的应用，此题中涉及的公式：工作时间=工作量÷工效．