六年级上册8 数学广角——数与形精品练习题

这是一份六年级上册8 数学广角——数与形精品练习题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，判断题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第八单元 数学广角—数与形（提升卷）
一、选择题（共10分）
1．照这样的规律接着画下去，第6个图形有（    ）个。
……
A．32 B．28 C．36 D．64
2．如下图，第5个图形是由（    ）个小正方形拼成的。

A．16 B．20 C．25 D．36
3．欣欣用小棒按如下方式摆图形。
正方形个数
图形
小棒的根数
1

4
2

4＋3
3

4＋3＋3
4

4＋3＋3＋3
……
……
……
按这样的规律，摆n个正方形需要小棒的根数为（    ）。
A．n＋3 B．3n C．3n＋1 D．4n
4．下面这组图形是按照一定规律排列的。照这样的规律，第8个图形有（    ）个●。

A．36 B．27 C．24 D．21
5．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。

从上图中可以发现：
任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4＝1＋3。把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（    ）。
A．36＝10＋26 B．36＝12＋24 C．36＝15＋21 D．36＝16＋20
二、填空题（共15分）
6．找规律填数：一列数0.9，0.99，0.999，0.9999，…，越来越大，越来越接近( )。一列数，，，，，…，越来越小，越来越接近( )。
7．根据图形中各个数的关系，★＝( )，▲＝( )。

8．某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。

根据。上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果）
( )；( )。
9．算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝( ) ；
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( ) 。
10．根据图中四幅图的规律，第5幅图中有( )个●，第n幅图中有( )个△。
  
11．（3分）请根据下图中的规律，按要求回答问题。

(1)第5个图形中白色三角形的个数有( )个。
(2)第10个图形中白色三角形的个数有( )个，黑色三角形的个数有( )个。
12．如下图：从图( )可知成立（填序号）。在图③中，是15cm，是10cm，图③阴影部分的周长是( )cm。
    
三、判断题（共8分）
13．、、、、…这列数越来越大，越来越接近1。( )
14．如图，像这样摆下去，摆n个正方形需要多少根小棒，用式子表示是4n。( )
……
15．。( )
16．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用11根小棒。( )

四、计算题（共12分）
17．（6分）计算下面各题，能简算的要简算。
          


         


18．（6分）找规律，直接写出后面各题的得数。
1234.5679×9＝11111.1111                1234.5679×36＝  
1234.5679×18＝22222.2222               1234.5679×45＝
1234.5679×27＝33333.3333               1234.5679×54＝


五、作图题（共12分）
19．（6分）观察下面的图形，按规律在“？”处填上合适的图形。  


20．（6分）观察如图的点子图，找一找有什么规律，请在最后一个方框内继续画。



六、解答题（共43分）
21．（6分）照这样的规律接着画下去，第5个图形中有多少个○？第8个图形呢？

32－1＝8          42－22＝12       52－32＝16



22．（7分）下图是由火柴棒摆成的图形，第n个图形是由n个正方形组成。请思考下列问题。

（1）像这样摆下去，第n个图形中有（    ）根火柴棒。
（2）当时，用第（1）题的式子计算出摆21个正方形需要的火柴棒数。



23．（7分）先仔细观察，再填一填。
（1）下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？照样子填一填。

32－1＝8      52－32＝16            （         ）
（2）照这样的规律画下去，第5个图形最外圈有（    ）个小正方形。请你解释其中的道理：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



24．（7分）探究题。
正方形个数
摆成的图形
小棒根数
1


2


3


……
……
……
（1）完成表格，你发现了什么规律？用含有字母的式子表示出来。
（2）如果摆100个正方形，需要多少根小棒？



25．（5分）笑笑用水果卡片摆成下面的“T”字，照这样摆下去，第10个“T”字要用多少张水果卡片？




26．（11分）在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
序号
1
2
3
4
……
图形




……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32

……
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（    ）×（    ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（    ）×（    ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（    ）。

参考答案
1．B
【分析】分析题意，找出图形变化的规律：灰色小正方形的个数＝小正方形的总个数－白色小正方形的个数，小正方形的总个数和白色小正方形的个数分别利用正方形的面积公式计算求出，据此解答。
【详解】第1个图形有：32－12＝9－1＝8（个）
第2个图形有：42－22＝16－4＝12（个）
第3个图形有：52－32＝25－9＝16（个）
所以第6个图形有：82－62＝64－36＝28（个）
故答案为：B
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
2．C
【分析】观察图形，第1个图形是由1×1＝1＝12个小正方形拼成的，第2个图形是由2×2＝4＝22个小正方形拼成的，第3个图形是由3×3＝9＝32个小正方形拼成的，依次类推，可以看出第5个图形是由52个小正方形拼成的。据此解答。
【详解】52＝5×5＝25（个）
即第5个图形是由25个小正方形拼成的。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
3．C
【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要小棒：4＋3＝7（根）；摆3个正方形需要小棒：4＋3＋3＝10（根）；……摆n个正方形需要小棒：4＋3×（n−1）＝（3n＋1）根。据此解答。
【详解】4＋3×（n－1）
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
故答案为：C
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
4．A
【分析】第1个图有1个，第2个图有1＋2＝3（个），第3个图有1＋2＋3＝6（个），第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个），则第8个图形有1＋2＋3＋4＋…＋8＝36（个）。
【详解】1＋2＋3＋4＋…＋8
＝（1＋8）×8÷2
＝36（个）
故答案为：A。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的排列规律。
5．C
【分析】观察图形和等式，发现正方形数是1、4、9、16、25、36、49…；都是平方数；
三角形数是1、3、6、10、15、21、28…；相邻两个数的差依次增加1；
从“三角形数”中找出哪两个相邻的数相加，和是“正方形数”36即可。
【详解】图1：正方形数是4，4＝1＋3
图2：正方形数是9，9＝3＋6
图3：正方形数是16，16＝6＋10
图4：正方形数是25，25＝10＋15
图5：正方形数是36，36＝15＋21
故答案为：C
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
6． 1 0
【分析】小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较，若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。据此可知，0.9，0.99，0.999，0.9999，…后面的数与1的差距越来越小，所以这列数越来越接近1。分数比较大小：分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；据此可知，一列数，，，，，…后面的数与0的差距越来越小，所以这列数越来越接近0。
【详解】0.9、0.99、0.999、0.9999、…这列数和1的差距为0.1、0.01、0.001、0.0001…，差距越来越小，根据小数比较大小的方法，可以知道这列数越来越接近1；
根据分数比较大小的方法可知，一列数，，，，，…，后面的数与0的差距越来越小，越来越接近0。
【点睛】掌握小数、分数比较大小的方法是解答本题的关键。
7． 26 32
【分析】由图分析可知，黑色三角形位置的数字是16的2倍，五角星星位置的数字是比16多10。
【详解】★＝16＋10＝26
▲＝16×2＝32
【点睛】此题考查学生的观察推理能力。
8． 28 11
【分析】根据题意可知，因为表示1，表示2，表示1＋2＋4，所以表示4；因为表示1＋4＋16，所以表示16；据此可知，每个正方形表示前一个正方形的2倍，所以表示8。据此推出和即可。
【详解】根据分析可知，
表示4，
表示8，
表示16，
所以表示4＋8＋16＝28
表示1＋2＋8＝11
【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
9． 25 85
【分析】由相加的数字规律可得：第一式子中最中间的数是7，左右两侧的数都是1、3、5，可运用左侧三个数之和的2倍加上7得出答案；第二个式子中最中间的数是13，左右两侧的数都是1、3、5、7、9、11，可运用左侧6个数字之和的2倍，再加上13，得出答案。
【详解】1＋3＋5＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5）×2＋7
＝18＋7
＝25
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）×2＋13
＝72＋13
＝85
【点睛】本题主要考查的是找出相加的数规律进行简便运算，解题的关键是掌握中间数的两边数相同的规律，进而计算得出答案。
10． 16 2n－1
【分析】第一幅图有（1－1）×（1－1）（个）●；第二幅图有（2－1）×（2－1）（个）●；第三幅图有（3－1）×（3－1）（个）●； .....第5幅图有（5－1）×（5－1）（个）●。第一幅图有（2×1－1）（个）O；第二幅图有（2×2－1）（个）O；第三幅图有（2×3－1）（个）O；⋯⋯第n幅图中的△照此规律即可求。
【详解】第5幅图中●的个数为：（5－1）×（5－1）
＝4×4
＝16
则第5幅图中有16个●，第n幅图中有（2n－1）个△。
【点睛】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。
11．(1)10
(2) 45 55

【分析】观察图形可知：
第1个图形：白色三角形有0个，黑色三角形有1个；
第2个图形：白色三角形有1个，1＝0＋1；黑色三角形有3个，3＝1＋2；
第3个图形：白色三角形有3个，3＝1＋2；黑色三角形有6个，6＝1＋2＋3；
第4个图形：白色三角形有6个，6＝1＋2＋3；黑色三角形有10个，10＝1＋2＋3＋4；
……
第n个图形中白色三角形的个数：0＋1＋2＋3＋…＋（n－1）＝n（n－1）；
第n个图形中黑色三角形的个数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）；
据此规律解答。
【详解】（1）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个；
当n＝5时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×5×（5－1）
＝×5×4
＝10（个）
第5个图形中白色三角形的个数有10个。
（2）规律：第n个图形中白色三角形有n（n－1）个，黑色三角形有n（n＋1）个；
当n＝10时，白色三角形有：
n（n－1）
＝×10×（10－1）
＝×10×9
＝45（个）
当n＝10时，黑色三角形有：
n（n＋1）
＝×10×（10＋1）
＝×10×11
＝55（个）
第10个图形中白色三角形的个数有45个，黑色三角形的个数有55个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
12． ② 60
【分析】（1）图①是由4个长是a、宽是b的长方形和一个边长为（a－b）的小正方形组成的边长为（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×4＋小正方形的面积；
图②是由2个长是a、宽是b的长方形、一个边长为a的小正方形和一个边长为b的小正方形组成的边长是（a＋b）大正方形，即大正方形的面积＝长方形的面积×2＋边长为a的小正方形的面积＋边长为b的小正方形的面积；
图③是由边长为b的小正方形和2个上底是b，下底是a，高是（a－b）的梯形组成的边长为a的大正方形。
（2）通过观察发现：图③阴影部分周长＝（梯形的上底＋下底＋高）×2。
【详解】由图①可知：成立。
由图②可知：成立。
由图③可知：，即成立。
图③阴影部分周长：
＝
＝
＝60（cm）
从图②可知成立。图③阴影部分的周长是60cm。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
13．√
【分析】观察数列可知，由、、、、，这几个数从第二个数起，每个分数的分子是前一个数的分母，而分母都比分子多1，那么数列整体呈现出分数单位越来越小，分子越来越大的规律，因此越来越接近1；据此解答。
【详解】根据分析，、、、、…，这列数越来越大，越来越接近1，说法正确；
故答案为：√
【点睛】此题考查了分数的数与形的运用，关键能够根据分子分母的变化找出规律再判断。
14．×
【分析】由图可知，一个正方形需要4根小棒，两个小正方形需要（4＋3）根小棒，三个小正方形需要（4＋3＋3）根小棒，由此可以推断，除了第一个正方形需要4根小棒，之后每增加一个正方形只需要3根小棒，那么摆n个正方形只需要4＋3（n－1）根小棒，化简即可验证。
【详解】4＋3（n－1）
=4＋3n－3
=3n＋1（根）
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：×
【点睛】此题考查学生的归纳总结能力以及含有字母的式子的化简，找到题干中的排列规律是解题的关键。
15．√
【分析】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15，一共有8个相邻的奇数，13＋11＋9＋7＋5＋3＋1，一共有7个相邻的奇数，从1开始n个相邻奇数的和＝n2，据此计算。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82
13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝72
所以
＝
＝64＋49
＝113
故答案为：√
【点睛】关键是理解并明确从1开始n个相邻奇数的总和等于奇数个数的平方。
16．√
【分析】根据小棒数量＝三角形数量×2＋1，计算即可。
【详解】5×2＋1
＝10＋1
＝11（根）
故答案为：√
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
17．；10；
49；2
【分析】（1）利用减法的性质，小括号打开，里面的减号变为加号，先计算的和，再计算减法，最后计算中括号外的乘法；
（2）除以变为乘，同时把和125%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算；
（3）把15×17看作一个整体，再利用乘法分配律进行简便计算；
（4）因为＝1－，所以＝＝，最后再计算除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝

＝
＝
＝
＝
＝10

＝
＝
＝49

＝
＝
＝
＝
＝2
18．44444.4444；55555.5555；66666.6666
【分析】由“1234.5679×9＝11111.1111，1234.5679×18＝22222.2222，1234.5679×27＝33333.3333”可以看出，第一个因数不变，第二个因数在第一个式子9的基础上分别乘2、乘3、乘4…根据积的变化规律得所得的积也乘2、乘3、乘4…据此即可直接写出各数的积。
【详解】根据规律，直接写出后几道题的得数：
1234.5679×9＝11111.1111                1234.5679×36＝ 44444.4444
1234.5679×18＝22222.2222               1234.5679×45＝55555.5555
1234.5679×27＝33333.3333               1234.5679×54＝66666.6666
19．见详解
【分析】观察图形可知：第1个图形有1个三角形，第2个图形有3个三角形，第3个图形有5个三角形……发现规律：后一个图形中三角形的个数是前一个图形中三角形的个数加2得到的；按此规律得出第4个图形中三角形的个数。
【详解】第4个图形中三角形的个数：5＋2＝7（个）
如图：

【点睛】根通过数与形的结合，从已知图形中找到规律，按此规律解决实际问题。
20．见详解
【详解】根据图意可知，第二幅图比第一幅图每个角上多一个点，第三幅图比第二幅图每个角多一个点，第四幅图比第三幅图每个角又多一个点，所以第五幅图比第四幅图每个角又多一个点，即每边四个点。
如图：
21．24个；36个
【分析】如下图，第1个图中○和●一共有32个，●的个数有12个，○的个数有32－12＝8（个）；第2个图中○和●一共有42个，●的个数有22个，○的个数有42－22＝12（个）；第3个图中○和●一共有52个，●的个数有32个，○的个数有52－32＝16（个）；……由此发现规律：第n个图中○和●一共有（n＋2）2个，●的个数有n2个，○的个数有[（n＋2）2－n2]个。

【详解】（5＋2）2－52
＝72－52
＝49－25
＝24（个）
（8＋2）2－82
＝102－82
＝100－64
＝36（个）
答：第5个图形中有24个○，第8个图形36个○。
【点睛】数形结合是学习数学的一种重要的思想方法。运用数形结合的方法，可以帮助理解计算方法，进行计算。
22．（1）
（2）64根
【分析】（1）摆一个图形需要4根火柴棒，可以写成3×1＋1；摆2个图形需要7根火柴棒，可以写成3×2＋1；摆三个图形需要10根火柴棒，可以写成3×3＋1…；由此可以推理得出一般规律解答问题；
（2）当n＝21时，代入算式，求出需要火柴棒的数量。
【详解】（1）根据分析可知，摆一个图形需要火柴棒的数量：（3×1＋1）根
摆二个图形需要火柴棒的数量：（3×2＋1）根
摆三个图形需要火柴棒的数量：（3×3＋1）根
由此可知摆n图形需要火柴棒的数量：（3n＋1）根
（2）当n＝21时
3×21＋1
＝63＋1
＝64（根）
答：摆21个正方形需要64个火柴棒。
【点睛】根据题干中已知图形排列特点以及数量关系，推理得出一般结论进行解答是此类问题的关键。
23．（1）72－52＝24
（2）40；道理见详解
【分析】观察可知，最外圈小正方形的个数＝大正方形边长×边长－临圈正方形边长×边长，如第一个图形：32－1＝8＝1×8，第二个图形：52－32＝16＝2×8，第三个图形：72－52＝24＝3×8……所以第几个图形最外圈小正方形的个数就用几×8，据此分析。
【详解】（1）第三个图形：72－52＝24
（2）5×8＝40（个）
第5个图形最外圈有40个小正方形。从前3个图的计算结果看，第一个图形最外圈的小正方形的个数的是1的8倍，第二图形最外圈的小正方形的个数的是2的8倍，第三图形最外圈的小正方形的个数的是3的8倍，以此类推，第五图形最外圈的小正方形的个数的是5的8倍，是40个。
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
24．（1）4；8；12；图形中正方形的个数与图形的序数相等，小棒的根数等于正方形个数的4倍；第n个图形有4n根小棒；
（2）400根
【分析】（1）由图可知，第1个图形摆1个正方形需要4根小棒；第2个图形摆2个正方形需要（2×4）根小棒；第3个图形摆3个正方形需要（3×4）根小棒……图形中正方形的个数和图形的序数相同，每增加一个小正方形就增加4根小棒，那么第n个图形有n个正方形需要4n根小棒；
（2）第100个图形有100个正方形，把n＝100代入含有字母的式子计算出结果即可。
【详解】（1）
正方形个数
摆成的图形
小棒根数
1

4
2

8
3

12
……
……
……
规律：图形中正方形的个数与图形的序数相等，小棒的根数等于正方形个数的4倍。
用含有字母的式子表示：第n个图形有n个小正方形，小棒根数为4n根。
（2）摆100个正方形需要小棒的根数：4n＝4×100＝400（根）
答：需要400根小棒。
【点睛】找出小正方形的个数与小棒根数的变化规律是解答题目的关键。
25．32张
【分析】由图可知，第1个图形有（2＋3）张水果卡片，第2个图形有（2＋3＋3）张水果卡片，第3个图形有（2＋3＋3＋3）张水果卡片……相邻的图片中后面一个图形比前面一个图形多3张水果卡片，第n个图形有（2＋3n）张水果卡片，据此解答。
【详解】
第1个图形水果卡片的张数：2＋3＝5（张）
第2个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＝8（张）
第3个图形水果卡片的张数：2＋3＋3＋3＝11（张）
……
第n个图形水果卡片的张数：（2＋3n）张
当n＝10时
2＋3n＝2＋3×10＝2＋30＝32（张）
答：第10个“T”字要用32张水果卡片。
【点睛】分析图形找出水果卡片数量变化的规律是解答题目的关键。
26．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1）可表示为：
；
（2）①
序号
1
2
3
4
……
图形




……
算式
12＋12
12＋12＋22
12＋12＋22＋32
12＋12＋22＋32＋52
……
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。