黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2022-2023学年高一下学期期中数学试题

齐市普高联谊校2022～2023学年下学期期中考试

高一数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂里；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：必修第一册5.5节至必修第二册8.3结束.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.的值是（    ）

A. B. C. D.

3.已知向量，，若，则（    ）

A. B. C. D.

4.在中，角、、所对的边分别为、、.若，，，则的值为（    ）

A. B.2 C. D.

5.一个正方体的六个面上分别有字母，，，，，，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与面相对的面上的字母是（    ）

A. B. C.或 D.或

6.如图所示，是水平放置的的直观图，其中，则的面积为（    ）

A. B.8 C. D.4

7.已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A. B. C. D.

8.中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（    ）

A.直角三角形  B.钝角三角形

C.直角或钝角三角形  D.锐角三角形

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.复数满足，则下列说法正确的是（    ）

A.的实部为1 B.的虚部为2 C. D.

10.下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

11.设函数，则下列结论错误的是

A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称

C.的一个零点为 D.的最大值为

12.中，内角，，的对边分别为，，，，边上的中线，则下列说法正确的有（    ）

A. B. C. D.的最大值为60°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知（，），则______.

14.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形）和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的侧棱长为，正六棱柱的高为2，则此组合体的体积为______.

15.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______.

16.在等腰梯形中，，，，为的中点，点是边上一个动点，则的最小值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.

（1）求复数；

（2）在复平面内，若复数（）对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.

18.（12分）

已知平面向量，的夹角为150°，且，.

（1）求在上的投影向量；

（2）若与垂直，求实数的值.

19.（12分）

如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成两部分，其中是三棱台的体积，是多面体的体积，求.

20.（12分）

已知向量，，函数.

（1）求函数的值域和单调递增区间；

（2）当，且时，求的值.

21.（12分）

如图，平行四边形中，.

（1）若，为中点，求证：点，，共线；

（2）若，，求的最小值，以及此时的值.

22.（12分）

已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且满足.

（1）求；

（2）若，求锐角的周长的取值范围.

齐市普高联谊校2022～2023学年下学期期中考试

高一数学参考答案、提示及评分细则

1. A  ，在复平面内所对应的点为，位于第一象限.

2. B  .

3. D  由得，所以，从而.

4. A  根据正弦定理得，所以.

5. A  根据两个不同放置的图形，明显可知的对面不是，，若面与面相对，则面与面相对，这时面位置与第一种放置矛盾；若面与面相对，则面与面相对，或面与面相对，这时与第一种放置矛盾，故与面相对的是面.

6. A  由图知，，，所以，所以原是直角边分别为4，的直角三角形，所以.

7. B  因为，，，所以，所以，所以，又因为，所以.

8. B

9. BD  由于，可得，

所以的实部为，虚部为2，所以，.

10. BD

11. BD  函数.的最小正周期为，故A正确；，的图象不关于直线对称，故B错误；，是的一个零点，故C正确；

函数，的最大值为2，故D错误.

12. ABC  ，A正确；，

，故B正确；由余弦定理及基本不等式得（当且仅当时，等号成立），由A选项知，，解得，故C正确；对于D，（当且仅当时，等号成立），，，又，的最大值30°，D选项错误.

13.1  ，，，解得.

14.   由正六棱柱的高为2知底面正六边形的边长为1，又正六棱锥的侧棱长为，所以正六棱锥的高为，所以底面正六边形的面积为，此组合体的体积为.

15.  ，，，，解得，.

16.

17.解：（1）因为（），且是纯虚数，

所以是纯虚数，…………1分

则即，…………3分

所以.…………5分

（2），…………7分

由题意可得解得，…………9分

所以实数的取值范围是.…………10分

18.解：（1）根据平面向量投影的几何意义得，

在上的投影为：.…………2分

则在上的投影向量为.…………4分

（2）由题意得，，…………6分

因为与垂直，所以，…………8分

所以，

即，解得.…………12分

19.解：设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，

则.

因为、分别为、的中点，

所以，…………4分

，…………8分

，故.…………12分

20.解：（1）

.…………3分

所以函数的值域是；…………4分

令（），解得，

所以函数的单调增区间为（）；…………6分

（2）由，得，…………8分

因为，所以，得，…………10分

.…………12分

21.（1）证明：…………2分

…………3分

所以…………5分

所以，，三点共线. …………6分

（2）解：.…………7分

设（）

因为，所以…………9分

，所以.…………11分

当，即时，

取得最小值2. …………12分

22.解：（1）由

可得：…………1分

…………2分

…………4分

，（）

，…………5分

所以…………6分

（2）因为，

利用正弦定理得：

所以…………7分

所以

所以…………9分

因为是锐角三角形，所以，，

所以，…………10分

所以…………11分

所以

所以三角形周长的范围为.…………12分