广西壮族自治区南宁市青秀区天桃实验学校2023-2024学年九年级上学期入学考试数学试题（含答案）

南宁市天桃实验学校教育集团2023年暑假自我学习问卷调查

九年级数学学科试卷

考试时间：120分钟试卷分值：120分

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡作答，在本试卷上作答无效；

2．答题前，请认真阅读答题卡上的主注意事项；

3．不能使用计算器，考试结束时，静答题卡交回．

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1．5的相反数是（）

A． B． C．0.5 D．

2．下列分别是回收、低碳、节水、节能的四个标志，其中是中心对称图形的是（）

A．  B．

C．  D．

3．互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示为（）

A． B． C． D．

4．如图，已知，如果，那么的度数为（）

（第4题图）

A．70° B．100° C．110° D．120°

5．某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．下列计算正确的是（）

A． B． C． D．

7．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（）

A． B．

C． D．

8．以下尺规作图中，一定能得到线段的是（）

A． B．

C． D．

9．如图，在菱形中，对角线与交于点，，，时的中点，则的周长是（）

（第9题图）

A．9 B．18 C．8 D．16

10．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则符合题意的方程应为（）

A．  B．

C．  D．

11．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接，则的长为（）

（第11题图）

A．6 B． C． D．3

12．如图，一次函数交轴于点，交轴于点，过点作，且．连接，当点在第一象限时，直线的解析式为（）

（第12题图）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

13.若分式有意义，则的取值范围是_____.

14.分解因式：_____.

15.小图的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，看笔试成绩、面试成绩按6:4计算综合成绩，则小图的综合成绩是_____分.

16.如图，在中，，，点为的中点，于点，则_____.

（第16题）

17.在我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”我们把第2行从左到右第1个定为，我们把第4行从左到右第3个定为，由图我们可以知道：，，按照图中数据规律，的值为_____.

（第17题图）

18.如图，在矩形中，，，动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，连接，，则的最小值是_____.

（第18题图）

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（本题满分6分）计算：．

20．（本题满分6分）先化简，再求值：，其中．

21．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．

（1）将向下平移5个单位后得到，请画出；

（2）将绕原点逆时针旋转90°后得到，请画出，并写出点的坐标；

（3）以、、为顶点的三角形的形状是______．

22．（本题满分10分）为了解七、八年级学生每日体育运动时间，学校从两个年级中各随机抽查了20名学生，并将结果整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

七年级组：40，40，50，55．

八年级：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．

七、八年级抽取的学生每日体育运动时间的统计量

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出______，______；

（2）若该校七、八年级共有1600名学生，请估计该校七、八年级学生每日体育运动时间不少于60分钟的人数之和；

（3）从中位数和方差中任选其一，说明其在本题中得实际意义．

23（本题满分10分）小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：

（1）请根据小明的思路完成下列填空

已知：如图1，在中，点是的中点，连接，且．

求证：为直角三角形．

图1图2图3

证明：由条件可知，，

则______，．

又∵______，

∴_____．

则为直角三角形．

（2）爱动脑筋的小明又想出了两种不同的证明思路：

证法一：如图2，延长至点，使，连接、．

证法二：如图3，分别取、边的中点、，连接、、，则、、为的中位线．

请你选择其中一种，把证明过程补充完整．

24．（本题满分10分）随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”页将成为企业营销变革的新起点．某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买，两种型号直播设备．已知型设备价格高型设备价格的1.2倍，用4800元购买型设备的数量比用3000元购买型设备的数量多5台．

（1）求、型设备单价分别是多少元；

（2）该校计划购买两种设备共60台，要求型设备数量不少于型设备数量的一半，设购买型设备台，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买使用．

25．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点与轴交于点，且，点是抛物线上一动点．

备用图

（第25题图）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点在第四象限时，求的最大面积；

（2）当点在第一象限，且时，求出点的坐标．

26．（本题满分10分）如图1，在边长为4的正方形中，连接，点在上，且，将点绕点逆时针旋转，旋转角的度数为，连接，与相交于点，连接，交于点，当点旋转到与点重合时旋转停止．

图1图2备用图

（第26题图）

（1）如图2，当时，

①求证：；

②点在线段的什么位置？请说明理由；

（2）在旋转的过程中，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，请直接写出的长；如果不存在，请说明理由．

南宁市天桃实验学校2023秋季学期暑假自我学习评估

九年级开学考试数学试卷参考答案

一、选择题（每题3分，共36分）

二、填空题（每题2分，共12分）

13．14．15．9616．17．10518．

三、解答题（72分）

19．计算：（本题6分）

解：原式分

20．（本题6分）

解：原式

当时，原式．

21．（本题8分）

解：（1）如图所示，即为所求，

（2）如图所示，即为所求，；

（3）等腰直角三角形．

22．（本题10分）

解：（1），即，

八年级学生每日体育运动时间的众数，故答案为：50、30；

（2）该校七、八年级学生运动时间不少于60分钟的人数之和为（人）．

（3）根据中位数的意义可知，八年级学生一半以上学生的运动时间超过50小时，七年级学生一半以上学生的运动时间超过35小时，八年级学生整体运动情况比七年级好．

根据方差的意义可知，八年级学生的运动时间的方差比七年级小，八年级学生整体的运动时间的稳定性比七年级的好．

23．（本题10分）

（1），180°，90°；

（2）解：证法一：如图2延长至点，使，连接、；

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形：

又，，∴，

∴四边形是矩形．

∴，∴为直角三角形．

证法二：如题图3，

∵，，为的中位线，

∴，，，

∴四边形是平行四边形，

∵，∴，

∴四边形是矩形，∴，

∴，∴为直角三角形．

24．（本题10分）

解：（1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，

根据题意，得：，解得，

检验，当时，

所以是原方程的解且符合题意，（元），

答：型设备的单价为240元，型设备的单价为200元；

（2）根据题意，得，解得，

由愿意得：，

∵，∴随的增大而增大，

∴当时，最小，

（元）．

答：与的函数关系式为，最少购买费用为12800元．

25．（本题10分）

解：（1）∵，∴点的坐标为，

设抛物线的解析式为

把，代入解析式得：解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）过点作轴交于点，如图：

令，则

解得，，∴

设的解析式为，把，代入得

解得，∴的解析式为，

设点，则点，

∴，

∴，

，

∴当时，取最大值，最大值为4

（3）当点在上方时，设交轴于点，如图：

∵，∴，

∵，

∴，解得，

∴，，

∴点．

设直线解析式为，

将点，点代入得，解得，

∴直线解析式为，

联立解析式得，解得：或，

∴点在第一象限，∴点坐标为．

26．（本题10分）

（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到，∴，

∵，即，

∴为等边三角形，

∵为的中点，∴，

（2）由（1）知，∴

∵四边形为正方形，∴，

如图2，过点作于点

图（2）

则

∴四边形是矩形，

∴

∴

∴，∴在中点的位置．

（3）解：存在．的长为或．