重庆市渝北中学2024届高三数学上学期8月月考试题（Word版附解析）

渝北中学2023-2024学年高三8月月考质量监测

数学试题

（全卷共四大题22小题  总分150分  考试时长120分钟）

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清䀿．

3．请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效．

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据根式的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

由，所以，

所以，

所以．

故选：D．

2. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答.

【详解】，，，而，即，

所以.

故选：D

3. 函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据零点存在定理即可得，解出实数的取值范围为.

【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，

显然函数为增函数，只需满足，即，

解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

4. 已知函数同时满足性质：①；②当，时，，则函数可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件可得函数为偶函数，且在上单调递减，然后逐个分析判断即可

【详解】因为，所以为偶函数，

因为当，时，，

所以在上单调递减，

对于A，在上单调递增，所以A错误，

对于B，为非奇非偶函数，所以B错误，

对于C，因为，所以为偶函数，

由，得，

所以在上单调递增，所以C错误，

对于D，函数的定义域为，因为，所以为偶函数，

当时，，令，则，

因为在上单调递减，在定义域内单调递增，

所以在上单调递减，所以D正确，

故选：D

5. 曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（      ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别从函数奇偶性、单调性、及函数值的符号来逐项判断即可.

【详解】对于A项，设，定义域为，

又因为，所以为奇函数，

当时，，则，

，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当x趋近于0时，趋近于0；当x趋近于时，趋近于；

又因为，故符合图象，故A项正确；

对于B项，设，定义域为，

又因为，所以为偶函数，而图象曲线是一个奇函数，故B项不符合；

对于C项，设，定义域为，

当时，，则，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减，这与图象不符，故C项不符合；

对于D项，设，定义域为，

因为，这与图象中相矛盾，故D项不符合.

故选：A.

6. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得，，

两式相比得，即，

所以.

故选：B.

7. 已知定义在上的函数满足，当时，则=（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据所给的等式可得为奇函数且周期为2，再根据对数的运算求解即可.

【详解】由可得为奇函数，又，则，故，故周期为2.

故

.

故选：D

8. 已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由是奇函数，是偶函数，求出，再根据，作出函数的图象即可求解.

【详解】因为是奇函数，是偶函数，

所以，解得，

由，

当时，则，所以，

同理：当时，，

以此类推，可以得到的图象如下：

由此可得，当时，，

由，得，解得或，

又因为对任意的，恒成立，

所以，所以实数的最大值为.

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.

【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.

对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.

对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.

对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.

故选：BCD.

10. 若，为正实数，则的充要条件为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据充要条件的定义，寻求所给不等式的等价条件，满足与等价的即可.

【详解】因为，故A选项错误；

因为，为正实数，所以，故B选项正确；

取，则，，即不成立，故C选项错误；

因为，当时，，所以在上单调递增，

即，故D正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查了充要条件，不等式的性质，函数的单调性，属于中档题.

11. 已知函数为上的奇函数，在上单调递减，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 函数是以4为周期的周期函数

C. 函数在上单调递增 D. 函数为偶函数

【答案】AB

【解析】

【分析】对于选项，分析得到函数是周期为2的周期函数，由此可知选项AB正确；由函数在上的单调性等价于函数在上的单调性，利用奇函数性质判断选项C错误,证明函数为奇函数，所以选项D不正确.

【详解】对于选项,∵函数为奇函数，∴．

∵，

∴，

则，即，

故函数是周期为2的周期函数，由此可知选项AB正确；

对于选项令，则．

在中，将换为，得，

∴，∴，

则函数为奇函数，所以选项D不正确．

对于选项,由函数是以2为最小正周期的周期函数，

则函数在上的单调性等价于函数在上的单调性，

又奇函数在上单调递减，所以函数在上单调递减.C不正确.

故选：AB.

12. 已知，满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.

【详解】对于A，由，得，

当且仅当时等号成立，A正确；

对于B，由，得且，

令，则，解得，解得，

得在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，B正确；

对于C，当时，满足，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题的第一空2分，第二空3分）

13. 已知函数，则不等式的解集是______．

【答案】

【解析】

【分析】先根据奇偶性定义判断奇偶性，再应用导数判断的单调性，最后根据奇函数及单调递增解不等式即可.

【详解】为奇函数，

单调递增，

，

故不等式的解集为.

故答案为：

14. 函数；，对有，则的范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】通过有，得出，分别计算出的最小值和的最大值即可计算出的范围.

【详解】由题意，

有，

∴，

在中，函数单调递增，，

在中，对称轴，函数开口向上，

∴在处取最大值，，

∴即，

解得，

故答案为：.

15. 已知函数，设，则函数的值域为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据复合函数定义域的求法可求得的定义域；采用换元法，将问题转化为关于的二次函数值域问题的求解，结合的范围可求得结果.

【详解】由得：，即的定义域为，

，

令，则，令，

则，，

，即的值域为.

故答案为：.

16. 设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则_________，的最小值为_________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】画出的图象，结合图象求得，，，的关系式，根据基本不等式求得正确答案.

【详解】画出的图象如下图所示.

由图可知，其中.

因为，即，

整理得.

且，

所以，

当且仅当时等号成立，此时，

又因为

，

当且仅当时等号成立，此时.

所以的最小值为.

故答案为：；

【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数且在区间上的最大值是2.

（1）求的值；

（2）若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）分和两种情况利用对数函数单调性列方程可求出的值；

（2）由函数的定义域为，可得，再结合（1）可求出，然后利用指数函数的单调性可求出的取值范围.

【小问1详解】

当时，函数在区间上是减函数，

因此当时，函数取得最大值2，即，因此.

当时，函数在区间上是增函数，

当时，函数取得最大值2，即，因此

故或.

【小问2详解】

因为的定义域为，

所以，则，即，

代入不等式，得，

则，解得，因此的取值范围是.

18. 某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.

（1）该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：）近似服从正态分布，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求；

（2）数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.

（i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；

（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.

附：，则，，.

【答案】（1）0.8186   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）由正态分布的对称性结合原则求解即可；

（2）（i）记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”，再由全概率公式求解即可；（ii）由条件概率公式求解即可；

【小问1详解】

由题：,

，故,

.

【小问2详解】

记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”

由题有：，，，则可得，，

（i），

（ii）.

19. 设函数（且）是定义域为的奇函数，且．

（1）求实数，的值；

（2）若，且在上的最小值为2，求实数的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得，求出的值，再利用函数奇偶性的定义验证函数为奇函数，即可得解；由可求得.

（2），设，可得出，然后对的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的值.

【小问1详解】

因为是定义域为的奇函数，所以，即，

当时，，，

此时函数为奇函数，故.

因为，所以，解得或（舍）.

所以，

【小问2详解】

由（1）可得

则，

令，因为函数、均为上的增函数，

故函数在上为增函数，由，故，

所以，，函数图象的对称轴为，

①当时，，解得（舍去）；

②当时，函数在上为增函数，

则，解得，合乎题意.

综上所述，.

20. 体育强则中国强.站在“两个一百年”奋斗目标交汇的历史节点上，作为教育部直属重点大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体系.现从该校随机抽取名学生调查其运动习惯（称每周运动不少于次的为运动达标，否则为运动不达标），得到如下数据：

（1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为运动达标与性别有关联？

（2）用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取名男生进行调查，从该校所有女生中随机抽取名女生进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，设随机变量表示这三人中运动达标的人数，求X的分布列与数学期望.

附：

【答案】（1）能认为运动达标与性别有关联；   

（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据题意补全列联表，再由独立性检验的计算公式化简计算即可；

（2）分别计算出每名男生运动达标的概率和每名女生运动达标的概率，再由乘法概率公式计算，可得随机变量的分布列与数学期望.

【小问1详解】

列联表补充填写如右图：

=

故根据小概率值的独立性检验，能认为运动达标与性别有关联；

【小问2详解】

由题意，每名男生运动达标的概率为，每名女生运动达标的概率为，

随机变量的所有可能取值是

，

，

，

，

故的分布列为：

的期望.

21. 已知函数，．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若任意、且，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；   

（2）

【解析】

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极值；

（2）设，分析可知函数在上为增函数，可得出对恒成立，利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，令，其中，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，，其中，

则，令，解得或，

又因为，所以，

列表如下：

因此有极小值，无极大值.

【小问2详解】

解：因为，，

所以，其中，

对、且，不妨设，则，

得到，化为，

设且函数的定义域为，

所以在为增函数，

即有对恒成立，即对任意的恒成立，

设，其中，则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以最大值，因此实数的取值范围是．

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）令，当时，求的最大值.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论后可得函数的单调性.

（2）求出，令，利用零点存在定理可得存在零点，从而得到的单调性，结合同构可求到的最小值即的最大值.

【详解】（1）函数的定义域是，

，

当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上不具有单调性；

当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，

令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增，

因，

所以存在使得，

当时，，当时，，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以当时，，

因为，即，

所以，

故令，函数为的单调递增函数，

所以，所以，

.

则.

【点睛】思路点睛：求函数的最值时，往往需要虚设函数的零点，有时需要把零点满足的方程变形后利用同构的思想得到零点满足的更简单的方程，从而可求原函数的最值.