人教版七年级数学上册同步精品讲练测 专题1.2 有理数（2份打包，原卷版+教师版）

专题1.2 有理数

1. 有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2. 有理数的分类

⑴按有理数的意义分类                   

⑵按正、负来分

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；

3.数轴

（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

（2）数轴上的点与有理数的关系

①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

（3）利用数轴表示两数大小

①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

（4）数轴上特殊的最大（小）数

①最小的自然数是0，无最大的自然数；

②最小的正整数是1，无最大的正整数；

③最大的负整数是-1，无最小的负整数

（5）a可以表示什么数

①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

4.相反数

（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

（2）相反数的性质与判定

①任何数都有相反数，且只有一个；

②0的相反数是0；

③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

（3）相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

（4）相反数的求法

①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)

（5）相反数的表示方法

①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

5.绝对值

①绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

②绝对值的代数定义

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

可用字母表示为：

如果a>0，那么|a|=a；   如果a<0，那么|a|=-a；   ③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

6.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

考点1：有理数分类

典例：把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．

负数集合：{                  …}；

整数集合：{                  …}；

正有理数集合：{                  …}．

答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．

方法或规律点拨

本题考查了有理数，掌握有理数的正确分类是解题的关键．

巩固练习

1．在，，，这四个数中，属于负整数的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

2．下列说法正确的是（       ）

A．正有理数和负有理数组成全体有理数 

B．零既不是正数，也不是负数

C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 

D．在有理数中，零的意义表示没有

【答案】B

3．下列各数中，是负整数的是（       ）

A．＋1 B．－2 C． D．0

【答案】B

4．在表中符合条件的空格里画上“√”．

解：∵属于有理数、整数；属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；

属于有理数、整数、自然数，

5．在数中，负分数有___________，非负整数有_____________．

【答案】         

考点2：相反数定义及其应用

典例：如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是（       ）

A．-1 B．-2 C．1 D．2

【答案】B

方法或规律点拨

本题考查了用数轴上的点表示数，相反数定义，掌握数轴上的点表示数，相反数定义是解题关键．

巩固练习

1．－2022的相反数是（       ）

A．－2022 B． C．2022 D．

【答案】C

2．若a的相反数是﹣5，那么a＝（　　）

A．5 B．﹣5 C．0 D．10

【答案】A

3．的相反数是____________．

【答案】2

4．判断下列说法是否正确：

(1)是相反数；              (2)是相反数；

(3)3是的相反数；          (4)与互为相反数．

【答案】(1)不正确；(2)不正确；(3)正确；(4)正确

5．求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：

(1)的相反数；                 (2)的相反数；

(3)的相反数的相反数；       (4)的相反数．

(1)解：3的相反数为-3；数-3在数轴上表示为：

(2)解：-2的相反数为2；数2在数轴上表示为：

(3)解：的相反数的相反数为，；数在数轴上表示为：

(4)解：0的相反数为0；数0在数轴上表示为：

考点3：数轴的定义及应用

典例：（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，

∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），

∵AB=1.8cm，∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；

故选：C

方法或规律点拨

本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．

巩固练习

1．下面表示数轴的图中，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

2．如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（       ）

A．1 B．0 C．－2 D．－4

【答案】C

3．如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（       ）

A．－3 B．－1 C．1 D．2

【答案】A

4．在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（       ）

A．－1 B．－2 C．－3 D．－4

【答案】D

【详解】点M向左平移2个单位长度，即点P表示的数字为a-2，

∵OP=2ON，∴，又∵a＜0，∴a-2=-6，解得a=-4，故选D．

5．数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．

【答案】-9或-5

解：∵数轴上一点A表示的数为－7，∴当点A在数轴上向左滑动2个单位后所表示的数是-7-2=-9；当点A在数轴上向右滑动2个单位后所表示的数是-7+2=-5，故答案为：-9或-5．

考点4：绝对值的几何意义及应用

典例：如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

解：∵点A，B表示的数的绝对值相等，

∴线段AB中点为原点，则点A到原点为3个单位长度，

∵数轴的单位长度为1.5，∴点A表示的数为-3×1.5=-4.5，故选：C．

方法或规律点拨

此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．注意：该数轴的单位长度为1.5．

巩固练习

1．-2022的绝对值是（　　）

A．﹣2022 B．2022 C． D．

【答案】B

2．我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a＞0时，如|a|=|2|=2，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，如|a|=0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如|a|=|﹣2|=2，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（       ）

A．分类讨论思想 B．公理化思想 C．数形结合思想 D．转化思想

【答案】A

解：由题意知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论．

故选：A．

3．若x的绝对值是3，则x的值是（          ）

A．3 B．-3 C．±3 D．-

【答案】C

4．绝对值等于11的数是______

【答案】11或-11.

5．若，则的值为__________.

【答案】

考点5：有理数大小的比较

典例：比﹣1大的数是（       ）

A．﹣3 B．0 C．﹣ D．﹣1.5

【答案】B

方法或规律点拨

此题考查了有理数大小的比较．明确正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．

巩固练习

1．几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其中液化温度最低的气体是（       ）

A．氦气 B．氮气 C．氢气 D．氧气

【答案】A

2．数，，，中最小的是（       ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】D

3．下列各组数中，比较大小正确的是（　　）

A．|﹣|＜|﹣| B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）

C．﹣|﹣8|＞7 D．﹣＜﹣

【答案】D

4．比较大小：－4.3______－3.4

【答案】＜

5．如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列．

解：观察数据可得，最高气温为℃，最低气温为℃，

这七天的最低气温（单位℃）分别为、、、、、、

在数轴上表示，如下图：

由数轴的性质可得，从低到高的排序为、、、、、、

一、选择题

1．下列各数既不是正数也不是负数的是(     )

A．-1 B．0 C．1 D．π

【答案】B

2．的相反数是（       ）．

A． B．5 C． D．

【答案】B

3．若x的相反数是5，则x的值是（       ）

A．－5 B． C．5 D．

【答案】A

4．﹣3的绝对值是（       ）

A．3 B． C．0 D．﹣3

【答案】A

5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

6．在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（       ）

A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8

【答案】B

二、填空题

7．请写出一个小于11的正整数_______．

【答案】2（答案不唯一）

8．相反数等于它本身的数是________．

【答案】0

9．用“>”“<”“=”号填空：______．

【答案】>

10．在数4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________ 是正数

【答案】4.3，

11．已知数轴上有一点表示的数是，将点向右移动4个单位至点，则点表示的数是______．

【答案】-1

12．如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么 的最小值是_________.

【答案】13

解：根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，A7表示的数为10-21=-11，A8表示的数为-11+24=13，A9表示的数为13-27=-14，A10表示的数为-14+30=16，A11表示的数为16-33=-17，A12表示的数为-17+36=19，A13表示的数为19-39=-20．所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．

故答案为13．

三、解答题

13．画一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣2|，．

解：如图所示

．

14．如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．

(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？

(2)若点B在点A的右侧：

① 求x的取值范围；

② 表示数﹣x+4的点应落在（        ）（填序号）

A．点A左边        B．线段AB上        C．点B右边

【答案】(1)8(2)B

(1)解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10

∵点A、B分别表示数2、10，

∴AB＝10﹣2＝8；

(2)①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，解得x＜2；

②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，

∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，

又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，

∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，

∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，

故答案为：B．

15．1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8

(1)写出点A和点B表示的数；

(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；

(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．

(1)∵A对应刻度2，B对应刻度8，∴，

∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，∴A表示-3，B表示3；

(2)∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，

∴C表示的数为；

(3)因为点D到A的距离为2，

所以点D表示的数为-1和-5．

因为点D到B的距离为4，

所以点D表示的数为-1和7．

综上，点D表示的数为-1．

所以点D关于原点对称的点表示的数为1．