人教版七年级数学上册同步精品讲练测 专题1.5 有理数的乘方（2份打包，原卷版+教师版）

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专题1.5 有理数的乘方

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1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
4.科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
5.近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字





考点精讲

考点1：乘方的定义及计算
典例： （1）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 ．
【答案】
方法或规律点拨
本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作an，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂．
（2）下列各组数中，数值相等的是（       ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
方法或规律点拨
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．的倒数等于（       ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
3．计算的结果等于（       ）
A．10 B． C．50 D．20
【答案】B
5．有理数，，，，0，，中正数的个数有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
6．a，b互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（       ）
A．a2与b2 B．a3与b5 C．a2n与b2n（n为正整数） D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【答案】D
解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A不符合题意；
B、a，b互为相反数，则a3＝−b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B不符合题意；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C不符合题意；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D符合题意；
故选：D．
7．的底数是 ____________ ．
【答案】6
考点2：非负数的和为零
典例：若（a-1）2+|b-a+3|=0，则a=_____，b=_____．
【答案】     1     -2
解：∵（a-1）2+|b-a+3|=0，而（a-1）2≥0，|b-a+3|≥0，∴a-1=0，b-a+3=0，解得a=1，b=-2，
故答案为：1，-2．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答此题关键．
巩固练习
1．已知，则的值为（       ）．
A．15 B． C． D．125
【答案】C
解：根据题意得，，，∴，，∴．故选C．
2．若，则______．
【答案】
解：且 解得：，
故答案为：．
3．若，则________．
【答案】1
，且
，，即，，．故答案为：1．
4．已知，则nm 的值是_________________
【答案】
解：∵，∴，，解得：，，∴．
考点3：含有乘方的四则混合运算
典例：（1）计算：．
解：=-12．
（2）计算：
解：原式
方法或规律点拨
此题考查了有理数的混合运算，绝对值、解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序．
巩固练习
1．计算：
(1) (2)
(1)解：原式
(2)解：原式
2．计算：
(1) (2)
(3)
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
(3)解：原式＝
3．计算
(1) (2)
(1)原式=．
(2)原式．
4．定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
(1)（﹣2）☆4；
(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
(1)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4＝16+（﹣8）+（﹣4）＝4；
(2)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）＝﹣27；
考点4：科学计数法
典例：（1）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
方法或规律点拨
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（       ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C；x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．故选C．
方法或规律点拨
本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．
巩固练习
1．2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．7.2×106 B．7.2×105 C．0.72×107 D．0.72×106
【答案】A
2．据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（　　）
A．3.8×103 B．3.8×104 C．0.38×105 D．0.38×106
【答案】B
3．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
5．一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（       ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
6．全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为（       ）
A．0.1023亿 B．1.023亿 C．10.23亿 D．102.3亿
【答案】B
考点5：近似数与有效数字
典例： （1）近似数37.5的实际值表示大于或等于 ___而小于 ___的数．从2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为 ___．
【答案】     37.45     37.55    
方法或规律点拨
本题考查近似数以及科学记数法的应用，理解“四舍五入”法则，并且掌握科学记数法中指数的确定是解题关键．
（2）数四舍五入后的近似值为1.30，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】B
方法或规律点拨
四舍五入是求近似值的方法，原则是：被舍的部分首位数字小于五时就舍去，而被舍去的部分首位数字等于五或大于五时就入，即在保留部分的末位上加1．
巩固练习
1．数3.14159精确到百分位约为（       ）．
A．3.14 B．3.15 C．3.141 D．3.142
【答案】A
2．用四舍五入法对0.07011取近似值，其中错误的是（     ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.07（精确到千分位）
C．0.07（精确到0.01） D．0.0701（精确到0.0001）
【答案】B
解：A、0.07011≈0.1（精确到0.1），所以A选项正确；
B、0.07011≈0.070（精确到千分位），所以B选项错误；
C、0.07011≈0.07（精确到0.01），所以C选项正确；
D、0.07011≈0.0701（精确到0.0001），所以D选项正确．
故选：B．

3．在近似数0.0270中，共有（　　）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
解：近似数0.0270中，有效数字为：2，7，0，共有3个有效数字，故选： C．
4．截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（       ）
A．22.699938×108 B．22.7×1010 C．2.27×108 D．2.270×107
【答案】D
5．下列对圆周率的取值说法错误的是（       ）
A．（精确到个位） B．（精确到十分位）
C．（精确到0.1） D．（精确到百分位）
【答案】A
A.是精确到十分位，故A错误，符合题意；
B.是精确到十分位，故B正确，不符合题意；
C.是精确到十分位，即精确到0.1，故C正确，不符合题意；
D.是精确到百分位，故D正确，不符合题意．
故选：A．
6．近似数4.50所示的数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：近似数4.50所表示的准确值a的取值范围是4.495≤a＜4.505．故选：A．
7．长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．
【答案】6.21×106
8．按四舍五入法取近似数：_________（精确到0.01）．
【答案】2.70
9．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题：
（1）＜π＞＝ （π为圆周率）；
（2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）3；（2）5.5＜x＜6.5
（1）π＝3.1415..．∵0.1415...＜0.5，∴＜π＞＝3，故答案为：3；
（2）若＜x＞＝6，①当5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5时，即x＞5.5，
②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5，
∴x的取值范围是5.5＜x＜6.5，故答案为：5.5＜x＜6.5．
能力提升

一、选择题
1．下列式子可以表示2的3次方的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（   ）
A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数
【答案】D
3．今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离，远地距离．将“356000”用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．对于有理数，规定了一种运算：.如，则计算的值是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题中的新定义得：原式=-5[32-3×（-2）]=-515=（-5）2-（-5）×15=25+75=100．故选：B．
5．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（       ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
【答案】B
解：由三组数的运算得：，，
，归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，，，
归纳类推得：当时，，式子②正确；故选：B．
6．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（       ）
A．当时， B．若，则m只能是5
C．若，则m只能是4 D．随着m的增大，n不一定也增大
【答案】B
解∶A．当时，则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
∴，故选项正确，不符合题意；
B．若，则m→16→8→4→2→1，∴m既可能是32，也可能是5，故选项错误，符合题意；
C．若，则m→2→1，∴m只能是4，故选项正确，不符合题意；
D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2，∴随着m的增大，n不一定也增大，故选∶B．
二、填空题
7．计算：___________．
【答案】
8．一个整数6250…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______．
【答案】7
9．把精确到千分位得到的近似数是6.010，则的范围是________．
【答案】6.0095≤a＜6.0105
解：∵精确到千分位得到的近似数是6.010，∴6.0095≤a＜6.0105，故答案为：6.0095≤a＜6.0105．
10．某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A类有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如下表：
种类
A
B
C
D
E
单价（元/类）
20
36
42
65
90
小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．
【答案】84
解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即买
A类则一袋茶的单价是20元/袋，
B类：每袋茶的单价是36÷2=18（元/袋），
C类：每袋茶的单价是42÷3=14（元/袋），
D类：每袋茶的单价是65÷5=13（元/袋），
E类：每袋茶的单价是90÷7= （元/袋），
当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，尽量选择每袋单价最低，
①单价最低的是E类含有7袋茶叶，则需要90元，
②买一个D类和一个A类共六袋，则费用为65+20=85（元）
③买两个C类,则费用是42×2=84（元）
∵84<85<90,购买茶叶的总费用最低为84元.故答案为：84．
11．已知a和n都是正整数，且，则a可能取的值是_____．
【答案】4或2或16
解：∵，和都是正整数，∴，或，或，
∴a=4，n=2或a=2，n=4或a=16，n=1，故答案为：4或2或16．
12．已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．
【答案】28
解：根据题意得：需要付费元．故答案为：28
三、解答题
13．计算：
(1) (2)．
(1)解：
；
(2)解：．
14．在学习了有理数的计算后，数学王老师给出这样三道题：
①；②；③．
甲、乙、丙三名同学各计算一道题，过程如下：
甲同学：解①：原式．
乙同学：解②：原式．
丙同学：解③：原式．
(1)甲、乙、丙三名同学的计算是否正确？
(2)如果不正确，请你写出正确的计算过程．
(1)甲计算错误，乙计算正确，丙计算错误．
(2)甲计算改正如下：
====72．
丙计算改正如下：
===26．
15．2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩需求量大幅增加，巴中市某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是2月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）、
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+400
﹣100
+100
﹣100
﹣200
+150
+350
(1)根据记录可知前三天共生产口罩　 　个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产口罩　 　个；
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.6元，该工厂以每个1.5元的批发价将前5天的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将剩下两天的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？
(1)解：（个）
故前三天共生产15400个口罩；（个）
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个；
故答案为：15400；600；
(2)

（元）
答：该工厂本周是赚了7300元.