高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆课后作业题

3.1.2 椭圆的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. 已知椭圆，则它的短轴长为(  )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2. 已知,分别为椭圆的左、右焦点，为上顶点，则的面积为(  )

A. 6 B. 15 C.  D.

3. 已知椭圆与，则两个椭圆(  )

A. 有相同的长轴与短轴 B. 有相同的焦距

C. 有相同的焦点 D. 有相同的离心率

4. [2023新高考Ⅰ]设椭圆,的离心率分别为,.若，则(  )

A.  B.  C.  D.

5. （多选题）已知为椭圆的焦点，，分别为椭圆的两个顶点（且不是离最近的那个顶点），若，，则椭圆的离心率可以为(  )

A.  B.  C.  D.

6. 写出一个焦点在轴上，且离心率为的椭圆的标准方程：.

7. 设是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为.

8. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

（1） 长轴是短轴的3倍且经过点；

（2） 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.

B层 能力提升练

9. （多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是(  )

A. 椭圆 和椭圆 一定没有公共点 B.

C.  D.

10. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年11月8日1时16分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟十三号航天员乘组密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，航天员翟志刚、王亚平安全返回天和核心舱，出舱活动取得圆满成功.已知天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法错误的是(  )

A. 椭圆的短轴长为 千米

B. 椭圆的短轴长为 千米

C. 椭圆的焦距为 千米

D. 椭圆的长轴长为 千米

11. [2023盐城期末]下列关于曲线的结论正确的是(  )

A. 曲线  是椭圆 B. 的取值范围是

C. 关于直线 对称 D. 曲线  所围成的封闭图形面积大于6

12. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为(  )

A.  B.  C. , D.

13. 若椭圆上存在点，使得点到椭圆的两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.写出一个长轴长为6的“倍径椭圆”的标准方程为.

14. 已知矩形中,,,则以,为焦点,且过,的椭圆的离心率为.

15. （1） 计算:

① 若,是椭圆长轴的两个端点,,求；

② 若,是椭圆长轴的两个端点,,,求；

③ 若,是椭圆长轴的两个端点,,,求.

（2） 观察①②③,由此可得到:若,是椭圆长轴的两个端点,为椭圆上任意一点,则.并证明你的结论.

16. 已知椭圆的离心率为，焦点，.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 已知，，若是椭圆在第一象限部分上的一动点，且是钝角，求的取值范围.

C层 拓展探究练

17. 中国嫦娥四号探测器在月球背面预选着陆区成功软着陆，并通过鹊桥中继卫星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱.如图，地球和月球都绕地月系质心做圆周运动，，，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，万有引力常数为，月球绕做圆周运动的角速度为 ，且，则(  )

A.  B.

C.  D.

18. （多选题）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(  )

A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为

C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为

3.1.2 椭圆的几何性质

分层作业

A层 基础达标练

1. B

2. D

3. D

4. A

5. AB

6. （答案不唯一）

7.

8. （1） 解若焦点在轴上，设方程为.因为椭圆过点，所以,得.因为，所以，所以方程为.若焦点在轴上，设方程为.因为椭圆过点，所以，得.又，所以，所以方程为.综上，椭圆的标准方程为或.

（2） 解由已知，有解得从而.若焦点在轴上，则方程为；若焦点在轴上，则方程为，所以所求椭圆的标准方程为或.

B层 能力提升练

9. AB

10. B

11. D

[解析]因为不是椭圆方程，所以曲线 不是椭圆，故错误；

因为曲线，所以，所以，故错误；

曲线与轴正半轴的交点坐标为，

若曲线关于直线对称，则点也在曲线上，又，所以点不在曲线上，所以曲线不关于直线对称，故错误；

曲线与坐标轴的交点坐标为,，

则以,四点为顶点的四边形的面积为，所以曲线 所围成的封闭图形面积大于6，故正确.故选.

12. D

[解析]由椭圆的方程可得，.设，由，得，即.由点在椭圆上，可得，所以，代入可得，所以.

由，得整理，得

所以

所以，即，可得,.故选.

13. （答案不唯一）

14.

 15. （1） ① 解 由椭圆方程可得,.又,所以.

② 解 由椭圆方程可得,.又,,所以.

③ 解 由椭圆方程可得,.又,,所以.

（2） ; 证明 设.

由题意得,,

则.

又为椭圆上任意一点,满足,得,

代入可得,得证.

16. （1） 解 依题意，得,,所以,，所以椭圆的方程为.

（2） 解 依题意，得,.

由于是钝角，所以.①

由于是椭圆在第一象限部分上的一动点，

所以，且,，②

将②代入①,得,，，则,所以的取值范围是.

C层 拓展探究练

17. B

[解析]对于选项，，由可得，，所以

，所以，故错误，正确；对于选项，由可得，故错误；对于选项，由，可得，所以得，故错误.故选.

18. BC

[解析].

如图，,分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.因为,，所以.

设椭圆的长轴长为，焦距为，则.

因为, ,,，由正弦定理得，解得，

所以，所以,.故选.