高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线精练

3.3.1 抛物线的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. 已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是(  )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线

2. 顶点在坐标原点，准线方程为的抛物线的标准方程是(  )

A.  B.  C.  D.

3. （多选题）对抛物线，下列描述正确的是(  )

A. 焦点坐标为 B. 焦点坐标为

C. 准线方程为 D. 准线方程为

4. （多选题）对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足的坐标为.

其中满足抛物线方程为的是(  )

A. ① B. ② C. ③ D. ④

5. 已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为(  )

A.  B. 或

C.  D. 或

6. 若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为.

7. 已知点与点的距离比它到直线的距离小2.

（1） 求点的轨迹的方程；

（2） 若轨迹上有两点，在第一象限，且，，求证：直线的斜率是.

B层 能力提升练

8. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为(  )

A. 2 B.  C.  D. 4

9. 已知直线和直线，则抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(  )

A.  B. 2 C.  D. 3

10. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，且，则下列结论正确的是(  )

A.  B.  C.  D.

11. （多选题）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是(  )

A. 准线方程为 B. 焦点坐标为

C. 点 的坐标为 D. 的长为3

12. 已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为(  )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

13. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，若以为直径作圆，则这个圆与轴的关系是(  )

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 以上三种情况都有可能

14. [课本改编题]一抛物线形的拱桥如图所示，桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度为米.

15. [2023宿迁期末]已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为.

16. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的某一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有.

（1） 以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；

（2） 若行车道总宽度为，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.

C层 拓展探究练

17. 如图，正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则动点的轨迹是(  )

A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 直线

18. 如图，已知点，抛物线的焦点是，，是抛物线上两点，四边形是矩形.

（1） 求抛物线的方程；

（2） 求矩形的面积.

3.3.1 抛物线的标准方程

分层作业

A层 基础达标练

1. C

2. B

3. BC

4. BD

5. D

6. 或

7. （1） 解 因为点与点的距离比它到直线的距离小2，所以点到点的距离与它到直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线.故轨迹的方程为.

（2） 证明 如图，设,在准线上的投影分别为,，连接，，过点作交于点.

因为，

，

又，所以.

因为，所以.

故直线的斜率是.

B层 能力提升练

8. A

9. B

10. A

11. BC

[解析]由抛物线方程为，得焦点坐标为,，准线方程为，故错误，正确.因为直线的斜率为，所以直线的方程为，当时，，所以,.因为，为垂足，所以点的纵坐标为，可得点的坐标为,，故正确.根据抛物线的定义，可知，故错误.故选.

12. C

[解析]易知抛物线的焦点为，准线方程为.如图，连接，延长交准线于点，根据抛物线的定义，知所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.故选.

13. B

[解析]如图，过的中点作准线的垂线，交直线于点，交轴于点；过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，，所以，所以这个圆与轴相切.故选.

14. 3.84

[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线的焦点在轴上.可设抛物线的标准方程为.

因为桥的跨度米，拱高米，所以,，

代入标准方程，得，解得，所以抛物线的标准方程为.把点的横坐标代入,得，解得.支柱的长度为（米）.

15. ,

[解析]如图，过点作抛物线准线的垂线，垂足为.由抛物线的定义，知点到焦点,的距离与点到准线的距离相等，即，所以.易知当，，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为,.

16. （1） 解根据题意可设该抛物线的方程为,结合图象，可得点的坐标为因为点在抛物线上，所以，解得,所以该抛物线的方程为.

（2） 设车辆高为，过点作轴的垂线交抛物线于点，则，故，代入方程，解得，所以通过隧道的车辆限制高度为.

C层 拓展探究练

17. B

[解析]如图，在正方体中，作，垂足为，则 平面，过作，则 平面，则为点到直线的距离.由题意得，由已知得，所以，即点到点的距离等于点到的距离，所以根据抛物线的定义可得，点的轨迹是抛物线.故选.

18. （1） 解 因为抛物线的焦点是，所以，解得，所以抛物线的方程为.

（2） 设，，因为四边形是矩形，所以,，且，即，，且，所以，，且，所以，解得，.由抛物线的定义得,，所以矩形的面积为.