苏教版 (2019)选择性必修第一册4.1 数列第2课时课时训练

第2课时 数列的递推公式

分层作业

A层 基础达标练

1. 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(  )

A. , , , , B. , , , ,…

C. , , , , D. 1, , , , ,

2. 已知数列满足,,则等于(  )

A.  B.  C.  D.

3. 数列1，3，6，10，15，的递推公式可以是(  )

A.  B.

C.  D.

4. 在数列中，,则数列的最小项是(  )

A.  B.  C.  D.

5. （多选题）已知数列的通项公式为,若数列是递减数列，则实数可能取的值是(  )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

6. 如下表定义函数

对于数列,,,,3,4,,则的值是.

7. 已知数列中，,，以后各项由给出.

（1） 写出此数列的前5项；

（2） 通过公式构造一个新的数列,写出数列的前4项.

B层 能力提升练

8. 已知数列满足若,则(  )

A. 3 B. 6 C. 11 D. 12

9. 在数列中，,若对任意的,都有成立，则实数的取值范围为(  )

A.  B.  C.  D.

10. 设是无穷数列，若存在正整数,使得对任意的,均有,则称是间隔递减数列，是的间隔数.已知,若是间隔递减数列，且最小间隔是4，则的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

11. 分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行黑圈的个数为,则(  )

图1

图2

A. 55 B. 58 C. 60 D. 62

12. [2023泰州检测]（多选题）在数列中，对于任意的都有,且,则下列结论正确的是(  )

A. 对于任意的 ,都有

B. 对于任意的 ,数列 不可能为常数列

C. 若 ,则数列 为递增数列

D. 若 ，则当 时，

13. 已知数列的通项公式,若数列为递增数列，则实数的取值范围是.

14. 在数列中，若存在，使得“且”成立（其中，）,则称为的一个峰值.若,则的峰值为；若，且不存在峰值，则实数的取值范围是.

15. 已知数列中，,且当时，.

（1） 试求,,的值，并归纳出数列的通项公式；

（2） 若不等式对任意的恒成立，求 的取值范围.

C层 拓展探究练

16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出：,至少需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.一般地，一个正整数首次变成1需经过个步骤（简称为步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数），若，则7步“雹程”对应的的所有可能取值的个数为(  )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

17. 已知无穷数列,若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数,,,,中至少有一个等于,则称数列具有性质，集合,.

（1） 若，判断数列是否具有性质；

（2） 数列具有性质，且,,,,求，的值.

第2课时 数列的递推公式

分层作业

A层 基础达标练

1. B

2. C

3. B

4. C

5. CD

6. 5

7. （1） 解 因为，且，，所以，，.故数列的前5项依次为1，2，3，5，8.

（2） 因为，且，，，，，所以，，，.因此数列的前4项依次为，，，.

B层 能力提升练

8. B

9. A

10. D

11. A

12. ACD

[解析]对于选项，因为，对于任意的都有，所以，即对于任意的，都有，故选项正确；对于选项，由，得，若数列为常数列且，则，满足，故选项错误；对于选项，由，得当时，，此时，且，故数列为递增数列，当时，，此时，故数列为递减数列，故当时，数列为递增数列，故选项正确；对于选项，，故选项正确.故选.

13. （，2）

[解析]因为数列为递增数列，，所以对恒成立，化简并整理，得对恒成立.因为当时，有最小值，即，所以，故实数的取值范围是.

14. 15; （，6］

[解析]令，则的图象开口向下，且对称轴为直线.但由于，当时，；当时，.所以对于任意的，都有，所以的峰值为15.

因为，且不存在峰值，令，因为的图象开口向下，所以数列是满足且，其中，，所以，即，所以实数的取值范围是.

15. （1） 解 当时，，所以；当时，，所以；当时，，所，所以.

（2） 对任意的恒成立，即对任意的恒成立.记,故，所以当时，，，所以，即，当时，，即随着的增大，单调递减，所以的最大值为，所以，即.故的取值范围为,.

C层 拓展探究练

16. D

[解析]因为且，所以，所以，所以或.

①若，则，所以，所以或，所以或.

②若，则，所以或.

当时，，此时或；

当时，，此时或

综上，满足条件的的值共有6个.故选.

17. （1） 解 因为数列是由2个不同元素组成的无穷数列，即，1，，1，，是周期为2的周期数列，故，所以对于任意的正整数，有，满足性质的条件，故数列具有性质.

（2） 由，，，，2，，可知.考虑后面连续三项，，.假设，由，及性质知，中必有一个数为2.所以，，中有两项为2，故必有1或3不在其中，不妨设（或3），考虑，，，中，最后一个等于的项，则该项的后三项均不等于，不满足性质的条件，矛盾，所以.同理可知，.