数学选择性必修第一册4.4 数学归纳法*第2课时同步测试题

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第2课时 数学归纳法的综合应用分层作业A层 基础达标练1. 用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是(  )A.  B. C.  D. 2. 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时,左边增加的项为(  )A.  B. C.  D. 3. 凸边形有条对角线,则凸边形对角线的条数(  )A.  B.  C.  D. 4. 用数学归纳法证明“能被3整除”的过程中，当时，为了使用归纳假设，应将变形为(  )A.  B. C.  D. 5. 用数学归纳法证明“能被9整除”,要利用归纳假设证时的情况,只需展开(  )A.  B. C.  D. 6. 请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①；②.已知数列的前项和为,且,.（1） 求,,;（2） 猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.B层 能力提升练7. 已知数列中，,,,用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明(  )A. 能被4整除 B. 能被4整除 C. 能被4整除 D. 能被4整除8. 已知数列满足，，,则下列结论成立的是(  )A.  B. C.  D. 9. 用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于.10. 平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.11. 先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？12. 一个计算装置有一个数据入口和一个运算结果的出口，将正整数数列中的各数依次输入口，从口得到输出数据组成数列,结果表明：①从口输入时，从口得到；②当时，从口输入,从口得到的结果是将前一个结果先乘正整数数列中的第个奇数，再除以正整数数列中的第个奇数，试问：（1） 从口输入2和3时，从口分别得到什么数？（2） 从口输入100时，从口得到什么数？请说明理由.13. 已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,，.（1） 求,;（2） 已知,,试比较,的大小.C层 拓展探究练14. （多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为(  )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4  第2课时 数学归纳法的综合应用分层作业A层 基础达标练1. B2. D3. C4. A5. A6. （1） 解选择条件①，因为,,所以当时,，即,当时,，所以，即,当时,，即，故,,分别为3，5，7.选择条件②,，所以当时，，当时，，当时，．故,,分别为3，.（2） 猜想,理由如下：选择条件①，因为，当时，由题知，，猜想成立，假设时，，则，所以，两式相减,得，即,所以当时，成立.综上，对任意的，.选择条件②，.当时，由题知，，猜想成立.假设时，,则,所以当时，成立.综上，对任意的，.B层 能力提升练7. C8. A9. 610. 证明 ①当时，两条直线的交点只有一个，又，所以当时,命题成立.②假设，且时，命题成立,即平面内满足题设的任何条直线交点的个数，那么当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点的个数为，与其他条直线交点的个数为，从而条直线共有个交点，即，所以当时，命题成立.由①②可知，对,命题都成立.11. 解当时，原式，当时，原式,当时，原式，当时，原式,这些数都可以被6整除，所以猜想可以被6整除，也可以被1，2,3整除.证明：①当时，，命题显然成立;②假设当时，能被6整除．当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除.由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立.根据①②，可知可以被6整除．故能被自然数1，2，3，6整除.12. （1） 解当时,；当时，;当时,.（2） 因为,,，，故猜想.理由:当时,显然猜想成立，假设时，猜想成立,即，则当时,,所以当时，猜想成立，所以，故从口输入100时，从口得到的数为.13. （1） 解设等差数列的公差为，等比数列的公比为,依题意,得整理得解得所以,.（2） 由（1）知,,数列是首项为，公比为的等比数列,则.因为,所以,则.用数学归纳法证明,.①当时，左边，右边，左边 右边，即原不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立.由①②知,，成立.因此，，即，所以.C层 拓展探究练14. CD[解析]取，则,,不成立；取，则,,不成立；取，则,,成立；取，则,,成立；下证：当时,成立.当时，则，,成立；假设当时，有成立，则当时，有,令，则.因为，所以.因为,所以,所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知,对任意的都成立.故选.