A. B. C. D.
2. 椭圆的焦距为4，则等于( )
A. 4B. 8C. 4或8D. 12
3. 已知，是椭圆的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则的方程为( )
A. B. C. D.
4. 曲线方程的化简结果为( )
A. B. C. D.
5. [2023连云港期中]“”是方程“表示椭圆”的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有( )
A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个
7. [2023宿迁月考]（多选题）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为,，且，则( )
A. 的周长为12B.
C. 点到轴的距离为D.
8. （多选题）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列四个选项正确的有 ( )
A. 到，，，四点的距离之和为定值
B. 曲线关于直线，均对称
C. 曲线所围区域面积必小于36
D. 曲线总长度不大于
9. [课本改编题]已知椭圆中心在原点，且经过和两点，则椭圆的标准方程为.
10. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，，，则.
12. 在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则.
午练9 椭圆的标准方程
1. C
2. C
3. C
4. D
[解析]曲线方程，其几何意义是动点到点和的距离之和等于10，符合椭圆的定义，点和是椭圆的两个焦点.设椭圆的标准方程为，其中，所以，，所以，所以曲线方程的化简结果为.故选.
5. A
[解析]当方程表示椭圆时，必有所以且；当时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆.故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选.
6. C
[解析]由椭圆的性质可知，椭圆的上、下顶点对，张开的角最大.因为，，，此时，这样的点有2个；当轴或轴时，也满足题意，这样的点有4个.故有6个点满足为直角三角形.故选.
7. BCD
[解析]由椭圆方程知,，所以，所以，于是的周长为，故选项错误；在中，由余弦定理可得，所以，解得，故，故选项正确；设点到轴的距离为，则，所以，故选项正确；，故选项正确.故选.
8. BC
[解析]易知，分别为椭圆的两个焦点，，分别为椭圆的两个焦点.若点仅在椭圆上，则点到，两点的距离之和为定值，到，两点的距离之和不为定值，故错误；两个椭圆关于直线，均对称，则曲线关于直线，均对称，故正确；曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长，故错误.故选.
9.
[解析]设所求椭圆方程为.依题意有解得所以椭圆的标准方程为.
10.
[解析]由题知，，所以，所以，.又焦点在轴上，所以标准方程为.
11.
[解析]如图，根据椭圆的定义，.
在中，由余弦定理可得，，所以，则，所以.
12.
[解析]由椭圆方程得，，.因为的顶点和，顶点在椭圆上，所以，所以由正弦定理可知，.