备战2024年新高考数学专题训练专题12 三角函数与解三角形（单选+填空）（新高考通用）

 专题12 三角函数与解三角形（单选+填空） （新高考通用）

一、单选题

1．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的一个对称中心可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件可知，周期，由此可求，再由正弦函数性质求其对称中心.

【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以且，

所以，，又，

所以，，

所以，故，

由，可得，

取，可得，又，

所以是函数的一个对称中心.

故选：B.

2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据二倍角公式得到，从而得到，再利用诱导公式求解即可.

【详解】因为，

所以，

因为，所以，所以.

因为，所以.

所以.

故选：B

3．（2023·广东广州·统考一模）已知为第一象限角.，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答.

【详解】因为为第一象限角，，则，，

，即，解得，，

所以.

故选：D

4．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.

【详解】，因为所以，所以

故选：B

5．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用三角恒等变换化简得到，由，得到，由函数零点个数列出不等式组，求出的取值范围.

【详解】因为，

所以

，

因为，所以，

因为在上恰有3个零点，

所以，解得．

故选：B．

6．（2023·福建莆田·统考二模）已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．的顶点都是与图象的公共点，则面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用三角函数平移的性质得到的解析式，从而作出的部分图像，联立的方程求得的坐标，再结合图像即可得到的高为，其底边最短时为，从而得解.

【详解】因为将的图象向左平移个单位长度，得到函数，

所以，故的部分图像如下，

，

不妨记的图像在轴正半轴的交点依次为，在轴负半轴的第一个交点为，

由三角函数的性质易得，即的高是一个定值，其值为到的距离，

联立，得，即，

则，即，故，所以，

当时，，即，

当时，，即，

当时，，即，

所以，

因此要使得面积最小，只需使得的底边最短即可，

显然是与图象的公共点中，作为的底边时，长度最小的边长之一，此时，

所以.

故选：B.

7．（2023·湖南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，函数的图象关于直线对称，则函数的单调增区间可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定，根据对称得到，，解不等式得到答案.

【详解】，函数的图象关于直线对称，

得，即，又，所以，

则，

由，得，

当时，，当时，，故B满足，验证其他选项不满足.

故选：B

8．（2023·广东·校联考模拟预测）若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数在区间上是减函数，对进行分类讨论，再分别解之即可.

【详解】函数是区间上的减函数，则

①当时，则，则由得，故，则无解.

②当时，则，则由得，故 ，则有.

综上①②知：.

故选：B

9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为（    ）

A．17 B．16 C．15 D．13

【答案】C

【分析】根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可.

【详解】，，的一个对称中心为，

，，的对称轴方程，

有，解得，

又，所以，，为奇数，

在上单调，则，得，

由选项知，需要依次验证，直至符合题意为止，

当时，，有，

得，由得，

此时，可以验证在上不单调，不符合题意；

当时，，有，

得，由得，

此时，可以验证在上单调，符合题意；

综上，的最大值为15.

故选：C．

10．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.

【详解】解：由余弦定理得，

即，即，

所以，

∴，当且仅当b=c时等号成立.

因为，

所以，

，

∴，

故选：C．

11．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）设，函数满足，则α落于区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，确定函数的最大值，根据最值和极值的关系，可得方程，利用零点存在性定理，可得答案.

【详解】由题意，可知函数在上当时取得最大值，

且，

由于，则，

由，，，，

根据零点存在性定理，可知，

故选：C.

12．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.

【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，

令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，

则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，

故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，

所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，

即，解得.

故选：C

【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.

13．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数证明不等式当时，，进而得，再讨论与的关系即可判断.

【详解】解：令，，则在上恒成立，

所以，函数在上单调递减，

所以，当时，，即，；

令，，则，

所以，函数在上单调递减，

所以，当时，，即，，

所以，当时，

所以，，

因为，

所以

所以，，即

，即

所以，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用时，，结合二倍角公式，比较与的关系判断.

二、填空题

14．（2023·浙江·模拟预测）已知函数，，，在上单调，则正整数的最大值为____________．

【答案】7

【分析】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，当取到最大值时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.

【详解】，∴直线为图象的对称轴，

，的对称中心为，

，

，

．

又在上单调，．

，，

又，

∴当时，，因为直线为图象的对称轴，所以，，

解得，，又，所以，则，

当时，，则在上单调，

则正整数的最大值为7．

故答案为：7.

15．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．

【答案】

【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.

【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为，

所以，

所以

因为，

所以，

，

当且仅当时取等，

令，，，

所以.

则的范围是：.

故答案为：

16．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后的函数的图像，若为偶函数，则函数在上的值域为___________.

【答案】

【分析】根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据为偶函数求出的值，即可求出的解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】解：因为，

将的图像向右平移个单位长度得到，

又为偶函数，所以，，解得，，

因为，所以，

所以，因为，则，所以，

则.

故答案为：

17．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角点的仰角以及；从点测得，已知山高，则山高________.

【答案】

【分析】通过直角可先求出的值，在由正弦定理可求的值，在中，由，，从而可求得的值．

【详解】在中，，，所以．

在中，，，从而，

由正弦定理得，，因此．

在中，，，得．

故答案为：．

18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，角，的终边分别与单位圆交于点A，B，若直线AB的斜率为，则=______.

【答案】##

【分析】根据三角函数的概念表示点的坐标A，B，利用同角的三角函数的基本关系式求角的三角函数值，再利用二倍角公式及诱导公式化简求值

【详解】由题意，所以.

不妨设，则，令，则，所以，

所以，所以.

故答案为：

19．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】先正弦函数的周期性求出 的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出 的具体范围.

【详解】在 是增函数，∴ ，∴ ，，

又 ，∴ ，令 ，

则 在 的函数图像如下：

所以欲使得 是增函数，则必须 或者 ，

对于 ，即 ，

对于函数，在 时 的值域是 ， ，

对于 ，即 ，

对于函数 在 时的值域是 ，即 ， 与 矛盾，无解；

故答案为： .

20．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数（，）在区间内单调，在区间内不单调，则ω的值为______．

【答案】2

【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.

【详解】依题意得，即．

因为当时，，

所以()，则 ，()，解得：().

令k＝0，则1≤ω≤2，而，故，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．

故答案为：2

21．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）已知函数在上恰有3个零点，则ω的最小值是 ________.

【答案】

【分析】化简函数解析式可得，结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求ω的最小值.

【详解】因为，

所以

所以.

令，可得，

所以或，

所以或，，

所以函数的正零点由小到大依次为，，，，，

因为函数在上恰有3个零点，

所以，，

所以

所以故ω的最小值是.

故答案为：.

22．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是___．

【答案】

【分析】将变形，求出单调递增区间，将包含于单调递增区间列式即可.

【详解】解：，

令，，所以，．即单调递增区间为，，

所以只需，，解得，，

则，解得，又，所以，所以，即的取值范围是．

故答案为：.

23．（2023·山东菏泽·统考一模）设均为非零实数，且满足，则__________.

【答案】1

【分析】先将原式化简得到，再令，

即可得到，从而求得结果.

【详解】由题意可得，，

令，则，

即，

所以，即

故

故答案为:

24．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式.

【详解】因为

所以，又因为函数在上单调递增

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

也是在上恒成立

，只需要满足时对应的函数值都不大零即可.

则只需要满足，即

故答案为：

25．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知，则___________.

【答案】##

【分析】先利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式将等式转化为，解之即可.

【详解】令，则，

所以，

因为，

所以，整理得，

则，解得或（舍去），

所以，即.

故答案为：.

26．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.

【详解】由题意可得：的最小正周期，

∵，且，则为的一条对称轴，

∴，解得，

又∵，则，

故，

∵，则，

若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，

故的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．

(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．

①令ωx＋φ＝，可求得对称轴方程．

②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．

③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.

27．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若正数满足，且，则的值为______.

【答案】##

【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简，得出，再利用倍角公式与和差公式化简，再利用弦切互化即可求解.

【详解】依题意，

因为

所以

又因为，所以，

所以，

所以

，

所以

.

故答案为：.

28．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）若关于x的方程恰有三个解，则______.

【答案】

【分析】将方程恰有三个解转化为函数与有且仅有三个不同的交点，再利用当与相切时及诱导公式即可求解.

【详解】方程有且仅有三个不同实根，等价于与有且仅有三个不同的交点，

而恒过，且，即也过，

①、部分图象如下：直线与曲线相切，恰好有3个交点，且，

则，消，得，

由诱导公式，得，即；

②如下图，在两虚线之间时恰好有3个交点，且，但此时不合题设；

综上，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：将方程恰有三个解转化为函数与有且仅有三个不同的交点，再利用当与相切时即可求解.

29．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,

再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象，

函数在区间上单调递增，

所以，即，解得，①

又，

所以，解得，②

由①②可得，

故答案为: .

30．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）函数在上的值域为，则的值为______．

【答案】##2.5

【分析】先由绝对值、余弦函数的有界性以及求出，分类讨论求出，即可求解.

【详解】因为，，

所以当且仅当且时，

所以,

又，所以

所以，易知在上单调递减，在单调递增，

所以当时，，不满足题意；

当时，因为，所以，

注意到，且在单调递增，

所以，所以

故答案为：.

【点睛】利用三角函数求值的关键：

（1）角的范围的判断；

（2）根据条件选择合适的公式进行化简计算；

（3）合理地利用函数图像和性质.