安徽省安庆市太湖县实验中学教育集团2022－2023学年八年级下学期期中数学试题

太湖县实验中学教育集团2022-2023学年第二学期期中教学质量监测

八年级数学试卷

（命题人：胡继开  审题人：朱记松）

温馨提示：1.本卷共八大题，23小题，总分150分，答题时间120分钟。

2.所有答案必须填写在答题卡上，填在试卷上及草稿纸上无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.化简的正确结果是（    ）

A.4 B. C. D.

2.估算的结果最接近的整数是（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

3.用配方法解方程时，配方后得的方程为（    ）

A. B. C. D.

4.关于的一元二次方程根的情况是（    ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.有一个实数根  D.没有实数根

5.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（    ）

A. B. C. D.3

6.将根号外的因式移到根号内，得（    ）

A. B. C. D.

7.某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为，则依题意列方程为（    ）

A.  B.

C. D.

8.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是（    ）

A. B.10 C. D.2

9.给出一种运算：对于函数，规定.例如：若函数，则有.已知函数，则方程的解是（    ）

A.，  B.

C.，  D.，

10.如图，中，为锐角，，，点是边上一点，且，点是线段上一动点，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）

11.如果代数式有意义，则的取值范围是______.

12.若是方程的一个根，则的值为______.

13.如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的交点，点与点关于轴对称，则点的坐标为______.

14.如图①，在中，，分别以、、为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为，，，请解答以下问题：

（1），，满足的数量关系是______.

（2）现将向上翻折，如图②，若阴影部分的，，，则______.

图①    图②

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：

16.解方程：

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.

图1 图2 图3

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；

（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；

（3）如图3，、、是小正方形的顶点，则______.

18.《九章算术》是我国古代数学的经典著作。书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.先化简，再求值：，其中.

20.某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个.

（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？

（2）书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？

（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应为多少？

六、解答题（本大题满分12分）

21.在中，，、、的对边长分别为、、，设的面积为，周长为。

（1）填表：

（2）如果，观察上表猜想：______（用含有的代数式表示）；

（3）说出（2）中结论成立的理由.

七、解答题（本大题满分12分）

22.如图，长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为.

备用图 备用图

（1）若点刚好落在对角线上时，求和的长；

（2）当时，求的长；

（3）若点刚好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长为______

八、解答题（本大题满分14分）

23.配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为，所以5是“完美数”.

【解决问题】（1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______；

（2）若可配方成（、为常数），则______；

【探究问题】（3）已知，则______；

（4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由.

【拓展结论】（5）已知实数、满足，求的最值.

参考答案

第1题

【答案】

，

故选：C.

根据二次根式的性质化简即可.

第2题

【答案】

∴结果最接近的整数是3.

故选：B.

【解析】

先化简计算，再作出估算.

【点评】

本题考查了估算无理数的大小，关键是确定的近似值.

第3题

【答案】

，

，

.

故选：D.

先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到.

第4题

【答案】

∵，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

计算方程根的判别式进行判断即可.

第5题

【答案】A

【解析】

分析：如图，作，则是等边底边上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得，所以，在直角中，利用勾股定理，可求出的长，代入面积计算公式，解答出即可；

详解：作，

∵是等边三角形，，

∴，

∴在直角中，

，

∴；

故选A.

点睛：本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想.

第6题

【答案】

.

故选：B.

直接利用二次根式的性质得出的符号，进而变形得出答案.

第7题

【答案】

设利润平均每月的增长率为，

又知：第一季度的利润是82.75万元，

所以可列方程为：；

故选D.

增长率问题，一般用增长后的量增长前的量，如果设利润平均月增长率为，根据“第一季度的利润是82.75万元”，可得出方程.

第8题

【答案】

∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，

∴，

解得：，

∴，

故选：A.

根据根与系数的关系得出，，求出即可.

第9题

【答案】B

【解析】

由函数得，则，

∴，

，

，

，

故选：B。

首先根据新定义求出函数中的，再与方程组成方程组得出：，用直接开平方法解方程即可.

第10题

【答案】A.

过点作于点，延长到，使，连接，交于点，连接，

此时的值最小.

∵，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

作于点，

∴，

∵，

∴，

∴.

故选A.

第11题

【答案】

第12题

【答案】2022.

第13题

【答案】

第14题

【答案】

（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

故答案为：；

（2）由（1）的结论知，

图②

∴，

故答案为：7.

（1）由等边三角形的面积公式得，，，再由勾股定理得；

（2）由（1）的结论知，，代入已知数据便可求得结果.

第15题

【答案】

第16题

【答案】

【分析】先找出，，，再求出，根据公式即可求出答案.

【解答】，，，

∴，

，

∴，.

第17题

【答案】

（1）（2）如图所示：

图1 图2 图3

（3）连接，

由勾股定理得：，

∵，

∴为等腰直角三角形

∴.

（1）面积为5的正方形的边长为，画出正方形即可；

（2）以直角边为1和2构造斜边为，再以2和3为直角边构造斜边为就得到三角形三边长分别为2、、；

（3）连接，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可得到的度数.

第18题

【答案】

设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，

根据勾股定理得：，

解得：.

答：原处还有4.55尺高的竹子.

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺.利用勾股定理解题即可.

第19题

【答案】

.

当时，原式.

【解析】

根据分式的混合运算的运算法则对化简为，再将代入求值.

【点评】

本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键.

第20题

【答案】

（1）当售价为42元时，每月可以售出的个数为（个）；

（2）当书包的月销售量为300个时，每个书包的价格为：（个）；

（3）设销售价格应定为元，则

，

解得，

当时，销售量为500个；当时，销售量为200个，

因此为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为50元.

（1）由“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”进行解答；

（2）根据“售价+月销量减少的个数”进行解答；

（3）设销售价格应定为元，根据“这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个”列出方程并解答.

第21题

【答案】

（1）∵的面积，周长，故当、、三边分别为3、4、5时，，，故，同理将其余两组数据代入可得为1，.

∴应填：，1，

（2）通过观察以上三组数据，可得出.

（3）∵，

∴

.

∵，

∴，

∴.即.

（1）的面积，周长，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出的值；

（2）通过观察以上三组数据，可得出：；

（3）根据，，可得出：，即.

第22题

【答案】

（1）如图1，由折叠可得，

图1

∵，

∴中，，

∴，

设

在中，由勾股定理得，

∴，

∴；

（2）如图2，由折叠得，，

图2

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）设的垂直平分线，交于点，交于点，分两种情况讨论：

①当点在矩形内部时，如图3，

图3

∵点在的垂直平分线上，

∴，

∵，

∴由勾股定理得：，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得：，

即；

②当点在矩形外部时，如图4，

图4

∵点在的垂直平分线上，

∴，

∵，

∴由勾股定理得：，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得：，

即，

综上所述，的长为.

故答案为：

（1）利用勾股定理求出，再利用翻折变换的性质求出，，设，在中，利用勾股定理求解方程求出即可；

（2）证明，可得结论；

（3）设的垂直平分线，交于点，交于点，分两种情况讨论：①当点在矩形内部时，如图3，②当点在矩形外部时，如图4，分别利用勾股定理求解.

第23题

【答案】

解决问题：

（1）根据题意得：；

故答案为：；

（2）根据题意得：，

∴，

则；

故答案为：；

探究问题：

（1）已知等式变形得：，

即，

∵，

∴，

解得：，

则；

故答案为：；

（2）当时，为“完美数”，理由如下：

，

∵，是整数，

∴，也是整数，

∴是一个“完美数”；

拓展结论：

∵，

∴，即，

∴

，

当时，最大，最大值为.

解决问题：

（1）把29分为两个整数的平方即可；

（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；

探究问题：

（1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；

（2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；

拓展结论：

由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可.