数学13.4课题学习 最短路径问题教学设计及反思

最短路径教学设计

教学目标

能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

教学重点：

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

教学过程设计

一创设情境，明确目标

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

“两点之间，线段最短。”

二自主学习，指向目标

自觉教材P85－87思考下列问题：

1、求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要（   ）这两

点，与直线的（   ）即为所求，其依据是（                     ）。

答：连接，交点，两点之间、线段最短。

2、求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小问题，只要找到其中的一个点（                 ），连接（         ，）则与该直线的交点即为所求。

答：关于这条直线的对称点，对称点与另一个点。

3、在解决最短路径问题时，我们通常利用（   ）、（   ）等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。

三、合作探究，解决问题

探究点一  探索最短路径问题

活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地.牧马人到可边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”，你能将这个问题抽象为数学问题吗？

答：将A、B两地抽象为两个点，将河岸抽象为一条直线。

问题2：利用上述数学理论分析为直线同旁两点问题如何解决？哪位同学

能够说说解决方法？

同学讨论，展示结果。

作法：（1）作出点B关于直线l的对称点B`

（2）连接AB`与直线l交于点C，即点C就是所求作的点。

问题3：你能证明AC+BC最短吗？

证明：在L上另取一点C′，连接AC′,BC′,B′C′,

∵AC′+BC′=AC′+B′C′

在△AB′C′中

AC′+BC′＞AB′(两边之和大于第三边）

∴点C即为所求.

当堂训练：

探究二、造桥选址问题

问题2  A和B两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

分析：利用平移思想将点B平移河宽，可以理解为两河岸重合，利用两点之间线段最短，连接AB`可得造址地点M利用平等四边形的性质可得点N从而得线路：AM→MN→NB。

思考：如何证明此线路最短？让学生回答：教师展示。见录像。

四当堂训练：

1、练习　如图，一个旅游船从大桥AB 下小岛P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．

2、如图，点A、B在直线l两侧，在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之差最大。

4、选择训练（有能力的学生做）见课件

四、总结内容，

1、这节课你学到了些什么？

2、轴对称和平移在作图中有哪些作用？

3、你的体会是什么？

五、布置作业