初中数学人教版八年级上册数学活动教学设计及反思

十字相乘法分解因式设计

---------x2+ (a+b)x + a b型式子的因式分解

一、教学目标：         

  1.掌握公式x2  + ( a + b) x + a b =（x + a) ( x + b )                  

  2、运用公式会对 x2 + (a+b)x + a b型的二次三项式进行因式分解。

二、教学的重点、难点

1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解

2、教学难点：在x2+px+q的因式分解时，准确的找出a、b，使ab=p，a+b=q。

三、导学过程

（一）温故而知新

1.计算

（1）(x +1) ( x + 2 ) = x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2

（2）(x -1) ( x + 2 ) = x2 +[(-1) + 2]x + (-1)×2

（3）(x + a) ( x + b ) = x2 + ( a + b )x + a b 

2、下列各式能因式分解吗？

（1） x2 + ( 1 + 2 )x + 1×2= (x +1) ( x + 2 )

（2） x2 +[(-1)+2]x+(-1)×2= (x -1) ( x + 2 )

（3） x2 + ( a + b )x + a b= (x + a) ( x + b )

（二）观察与思考

(1)x2+(1+4)x+1×4 = (x +    )(x +    )

(2)x2+[(-1)+(-2)]x+(-1) ×(-2) = [x+(       )][x+(      )]

(3)x2 + [(-2) + 1]x + (-2) ×1 = [x + (       )]( x +      )

（三）自主学习

公式推导

x2 +( a + b )x + ab = x2 + ax + bx  + ab

= x(x + a) + b(x  + a)

= (x + a) (x  + b)

∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x  + b)

运用公式必须同时具备的三个条件：

（1）二次项系数式是1的二次三项式

(2)常数项是两个数之积

(3)一次项系数是常数项的两个因数之和

（四）合作探索

例1  分解因式

（1）x2 + 4x + 3

↓       ↓

       x      +3

       x      +1

解：x2 + 4x + 3=（x+3）（x-1）

步骤（1）竖分二次项和常数项

（2）交叉相乘并相加

（3）检验确定，横写因式

简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式。

可见，十字相乘法是借助十字交叉线分解因式的方法。

   (简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中,横写因式)

（2） x2 + 6x – 7

↓        ↓

     x         +7

      x         -1

解：x2+ 6x – 7 =(x+7)（x-1）         

归纳：利用十字数交叉线来分解系，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

（五）展示交流

1、将下列各式因式分解     

(1)x2+6x+8        (2)y2+7y+12        (3)x2-5x+4      

 (4)x2+2x-8       (5)x2-2x-8         (6)y2-7y-18     

归纳：

因式分解时常数项因数分解的一般规律：

1.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同。 ＋

2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。

2、试将分解因式

提示：当二次项系数为-1时  ，先提出负号再因式分解 。       

（六）归纳小结

 1.运用公式x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x  + b)必须同时具备的三个条件：

(1)二次项系数式是1的二次三项式

(2)常数项是两个数之积

(3)一次项系数是常数项的两个因数之和

2.常数项因数分解的一般规律：

(1) 常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同。

 (2) 常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。

（七）乘胜追击（简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中,横写因式。）

（1）6 x2 + 7 x + 2

解：6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)

(2)  3 x2 + 11 x + 10

解：3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)

四、当堂检测（我最棒，我能行！最棒最棒我最棒）

1.分解因式 ：

   (1)  x2+5x-6       (2)  x2-5x-6         (3)  x2+5x+6

（4)  x2-5x+6       (5) -6x2+7x+5