上海市闵行中学2024届高三上学期开学考试数学试题

2024届闵行中学高三开学考数学试卷

一、填空题

1．已知集合，则__________．

2．复数在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是__________．

3．函数的定义域为__________．

4．已知，则__________．

5．的二项展开式中的常数项为__________．（用数字作答）

6．点都在同一个指数函数的图像上，则__________．

7．一个正方体和一个球的表面积相同，则正方体的体积和球的体积的比值__________．

8．为抛物线上一点，其中为抛物线焦点，直线方程为为垂足，则__________．

9．已知数列的前项和为，且满足，则__________．

10．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__________．

11．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．

12．设是以1为周期的函数，，若函数的值域为，则函数的值域为__________．

二、单选题

13．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

14．已知双曲线与有共同渐近线，则它们一定有相等的（    ）

A．实轴长    B．虚轴长    C．焦距    D．离心率

15．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；③；具有性质的函数的个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

16．已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（    ）

A．1个    B．2个    C．3个    D．无数个

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的值．

18．在正三棱柱中，，求：

（1）异面直线与所成角的大小；

（2）四棱锥的体积．

19．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入60万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．

（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为多少人？

（2）若技术人员在已知范围内调整后，必须研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求出正整数的最大值．

20．已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点．

（1）当直线的倾斜角为时，求直线的斜率；

（2）当的面积为时，求点的横坐标；

（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

21．已知函数．

（1）求函数在处切线方程；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围；

（3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由．

2024届闵行中学高三开学考数学试卷

参考答案

一、填空题

1．【答案】

【解析】．

2．【答案】

【解析】因为复数在复平面的第二象限内，所以，解得．

3．【答案】

【解析】或，所以定义域为：．

4．【答案】

【解析】由诱导公式知，故填．

5．【答案】160

【解析】由二项式展开式的通项公式为，令，则常数项为．

6．【答案】9

【解析】设指数函数为，其中且，将代入函数解析式得，解得．

7．【答案】

【解析】由己知可得设正方体的棱长为，球的半径为，

由题意可知，故可得，

则，故，

8．【答案】5

【解析】因为抛物线，所以其焦点，准线方程为，根据抛物线定义可知，又因为直线方程为，所以

9．【答案】

【解析】因为，所以，

所以是以2为公差的等差数列，所以．

10．【答案】

【解析】依题意是奇函数，图象关于原点对称，

由图象可知，在区间递减，；

在区间递增，．

所以的解集．

11．【答案】

【解析】设物品原价格为1，因为，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，

5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为：．

12．【答案】

【解析】设，则，

所以，，故函数在上的值域为，

同理，在上的值域为，

在上的值域为在上的值域为．

因此，函数的值域为．

二、单选题

13．【答案】A

【解析】因为“”“”，但“”不能推出“”，

故“”是“”的充分不必要条件，故选A．

14．【答案】D

【解析】双曲线的渐近线方程为，

的渐近线方程为，

由题意可得，又，所以，

又由推不出，所以推不出，故选：D

15．【答案】C

【解析】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；

②假设存在不相等，使得，即，得，矛盾，故不存在；

③函数为偶函数，，令，则，存在．

故选：C．

16．【答案】C

【解析】因为对任意实数均有，

所以对任意实数均有，

又因为，

所以只能是对任意实数均有成立，

由三角函数的图象与性质可知，必有或，

若，此时方程可化为，

根据三角函数的周期性，此时，

解得，又，所以；

若，此时方程可化为，

根据三角函数的周期性，此时，

解得，又，所以；

若，又，易知；

综上满足条件的有序实数对为共有3个，故选：C

三、解答题

17．【答案】（1）；    （2）

【解析】（1）设等差数列的公差为，由，

得，解得，

所以．

（2）因为，

所以，

因为，所以，

即，又，所以．

18．【答案】（1）．    （2）

【解析】（1）∵正三棱柱，

是异面直线与所成角，

在中，，

，

，

∴异面直线与所成角大小为．

（2）∵正三棱柱中，，

，

，

∴四棱锥的体积．

19．【答案】（1）75人；（2）7．

【解析】（1）依题意得

解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人

（2）由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有：

得，整理得

故有

当且仅当时等号成立，所以，

故正整数的最大值为7

20．【答案】（1）；（2）或；（3）1

【解析】（1）因为直线的倾斜角为，且，

所以直线的方程为：，

由，得，

所以直线的斜率是；

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由，得，

设，则，

所以，

所以，

解得，即，

所以直线的方程为或，

由，得；

由，得；

（3）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得，

设，则，

所以，

因为，

所以，

所以．

21．【答案】（1）；（2）；（3）1个，理由见解析

【解析】（1）由于函数，故，

故，且，

所以函数在处切线方程为，即；

（2）对任意的恒成立，即，

即对任意的恒成立，

令，则，

令，得，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

故时，函数取得极大值也即最大值，则，

所以，则的取值范围为，即；

（3）由可得，对于任意的，由，

当时，单调递增，，

故在上有唯一实根；

当时，令，则，

而，当时，递减，

当时，递增，故，

所以，故在上没有实根；

综合上述，对于任意的，函数有且只有一个零点．