人教B版（2019）数学必修第一册《2.2 不等式》同步练习

人教B版（2019）必修第一册《2.2 不等式》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知关于的方程的两个实根，满足，则实数的取值范围为

A.  B.
C.  D.

2.（5分）已知，，，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

3.（5分）若正数满足，则的最小值为  

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5.（5分）不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

6.（5分）已知实数，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为

A.  B.
C. ， D.

8.（5分）已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）设，则下列不等式恒成立的是

A.  B.
C.  D.

10.（5分）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则的值可以是

A.  B.  C.  D.

11.（5分）下列命题中为真命题的是 
 

A. 若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件
B. 若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件
C. 若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件
D. 若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件

12.（5分）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）下列不等式不一定成立的是

A.  B.
C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若不等式的解集为，则的值为________.

15.（5分）设函数，当时，恒成立，则的最小值是          . 
 

16.（5分）已知，则的大小关系为__________.

17.（5分）已知，，，则的最小值是______．

18.（5分）已知，则的最小值为_______.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知定义在上的偶函数满足：当时，． 
求函数的解析式； 
设函数，若对于任意的，，都有成立，求实数的取值范围．

20.（12分）如图所示，长方体中，四边形为正方形，且，为的中点，点在棱上，平面与平面所成锐二面角的余弦值为 
求证：平面 
求直线与平面所成角的正弦值. 
 

21.（12分）若不等式的解集为或，求不等式的解集．

22.（12分）已知函数，． 
Ⅰ当时，求不等式的解集； 
Ⅱ，，求实数的取值范围．

23.（12分）已知关于的函数 
当时，求不等式的解集． 
当时，求不等式的解集．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：由题设知，函数在内有两个零点，则， 
即，解得：， 
故选：． 
由题设知函数在内有两个零点，由此得到关于的不等式，解不等式即可求得实数的取值范围． 
这道题主要考查根的分布与二次函数的图象之间的关系，其中根据方程的根与零点的关系，将问题转化为确定函数的零点问题，是解答本题的关键，属于基础题．
 

2.【答案】C;

【解析】解：，，解得． 
，，则， 
当且仅当时取等号． 
故选：． 
，利用对数的运算性质可得再利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出． 
该题考查了对数的运算性质、“乘法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

3.【答案】A;

【解析】解：由题意，设，解得，，其中，， 
，，整理得， 
又由 
 
， 
当且仅当，即，即时，等号成立， 
的最小值为． 
故选：． 
设，解得，，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值． 
这道题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题．
 

4.【答案】B;

【解析】

此题主要考查了均值不等的运用，不等式的恒成立，属于中档题．

解：，，且，  
，  
当时等号成立， 
若恒成立，  
，  
即，  
故选
 

5.【答案】D;

【解析】解：不等式对任意，恒成立，等价于恒成立．  
当，时，，当且仅当时取等号．  
则有：，  
解得：  
所以实数的取值范围是． 
故选：． 
不等式对任意，恒成立等价于恒成立．从而求解实数的取值范围．  
该题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，恒成立的转化，考查了计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查不等式的性质，考查推理能力，属于基础题. 
利用不等式的性质即可判断. 
 
解：由题意可知，，且， 
则，故，故错误； 
由，得，故正确； 
由，得，故错误； 
由，得，故错误； 
故选
 

7.【答案】C;

【解析】 
该题考查二次不等式的解法，注意当二次项的系数含有参数时，必须进行讨论，考查了分类讨论思想，属中档题． 
据题意，分两种情况讨论：当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合种情况即可得答案． 
 
解：根据题意，分两种情况讨论： 
当时，即， 
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集，符合题意； 
若时，原不等式为，无解，不符合题意； 
当时，即， 
若的解集是空集，则有，解可得， 
则当不等式的解集不为空集时，有或且， 
综合可得：实数的取值范围为，； 
故选C．
 

8.【答案】D;

【解析】 
此题主要考查了集合的交集、并集，属于基础题型，先化简两个集合即可。 
 
解：由题意得，， 
则， 
故选 
 

 

9.【答案】AC;

【解析】解：，，，，，故A正确； 
，，，故B错误； 
，，，，故C正确； 
，，，，故D错误． 
故选：． 
由不等式的性质及基本不等式逐一判断即可． 
这道题主要考查不等式的基本性质及基本不等式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】BCD;

【解析】解：当时，原不等式为，易得其解集为，不满足题意，故选项A错误； 
当时，原不等式为，易得其解集为，满足题意，故选项B正确； 
当时，原不等式为，易得其解集为，满足题意，故选项C正确； 
当时，原不等式为，易得其解集为，满足题意，故选项D正确， 
故选：． 
逐个选项代入计算验证正误即可． 
此题主要考查一元二次不等式的整数解问题，属于中档题．
 

11.【答案】AC;

【解析】解：对于，对立事件首先是互斥事件，故为真命题对于，互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故为假命题对于，事件，为对立事件，则在一次试验中，一定有一个发生，故为真命题对于，事件表示事件，至少有一个要发生，，不一定互斥，故为假命题故选 

 

12.【答案】BC;

【解析】 
此题主要考查了函数的基本概念以及函数的定义域和值域，涉及复合函数和不等式的基本性质，属于基础题. 
由的值域，利用不等式的性质和复合函数即可求得各个函数的值域. 
 
解： 是和的复合函数， 因为的值域为，即，，即，即的值域为，故错误 
是函数和的复合函数，函数的定义域是，则，又因为的值域为，所以的值域为，故正确； 
因为的值域为，即，，即的值域为，故正确； 
因为的值域为，即，，的值域为，故错误. 
故选 

 

13.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查基本不等式的运用，注意运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”. 
利用基本不等式结合特殊值法即可判断. 
 
解：对于，当时，，所以， 
所以，当且仅当时，等号成立，故选项不正确； 
对于，当时，，故选项不正确； 
，，所以，选项正确； 
当时，有，故选项不正确．  
故选
 

14.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了一元二次不等式的解集与所对应一元二次方程根的关系，是基础题．根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值，即可求出 
 
解：不等式的解集为，  
和是的两个根，  
， 
 解得，，  
 
故答案为
 

15.【答案】-;

【解析】解：，由，得或， 
当时，，，得，验证 
即，时，恒成立， 
此时，满足的最小值是， 
当时，，，即，验证 
即，时，恒成立，此时有最大值是， 
综上，当，时，的最小值是 

 

16.【答案】;

【解析】，因为，所以，，从而，故，
 

17.【答案】4;

【解析】解：，，且， 
， 
即， 
或， 
，， 
， 
当且仅当，即时取“”， 
的最小值是． 
故答案为：． 
利用基本不等式将中的表示成，求解不等式即可求得的取值范围，从而得到的最小值． 
该题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解答该题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 
合理利用“”是解答该题的关键，由展开后利用基本不等式可得最小值. 
 
解：， 
 
 
当且仅当“”时取等号， 
故的最小值为 
故答案为
 

19.【答案】解：根据题意，设，则， 
从而， 
因为定义在偶函数， 
所以 
因此， 
因为对任意，，都有成立，所以 
又因为是定义在上的偶函数．所以在区间和区间上的值域相同． 
当时，设，则 
函数化为， 
则 
又 
所以即， 
因此，的取值范围为，即;

【解析】该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题． 
根据题意，设，则，由函数的解析式可得的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得的表达式，综合即可得答案； 
根据题意，求出函数的最小值与的最大值，分析可得，解出最值然后求不等式即可得答案． 
 

 

20.【答案】证明：由题可知，，两两垂直，所以以为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，， 
 
所以，，设 ，所以，， 
设平面的法向量为， 
则即 
令，则，， 
所以， 
又平面的法向量可取为， 
所以， 
解得或舍去，所以，为的中点. 
取的中点，连接， 
因为是的中点，所以， 
因为是的中点，所以， 
所以，，故四边形是平行四边形，所以 
因为平面，平面， 
所以平面 
解：由知，所以，， 
设平面的法向量为， 
所以即 
令，则，所以 
直线与平面所成角为， 
则，， 
故直线与平面所成角的正弦值为;

【解析】此题主要考查利用空间向量证明直线与平面平行，面与面的夹角的余弦值，求解线面的夹角，考查空间想象能力与运算能力，属于中档题. 
建立空间直角坐标系，不妨设，，设，求解平面的法向量为，及平面的法向量可取为，利用平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求解的值，再利用平行线性质，推出四边形是平行四边形，进而平面； 
由得到，解得平面的法向量为，则，，即可得直线与平面所成角的正弦值为 

 

21.【答案】解：因为不等式a+bx+c≤0的解集为{x|x≤-3或x≥4}， 
所以， 
解得b=-a，c=-12a， 
所以不等式b+2ax-c-3b≥0即为-a+2ax+15a≥0， 
又a＜0，所以不等式化为-2x-15≥0， 
解得x≤-3或x≥5， 
所以不等式b+2ax-c-3b≥0的解集为{x|x≤-3或x≥5}．;

【解析】 
由不等式的解集判断，求出、和的关系，代入不等式中化简求解集即可． 
该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
 

22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|= 
∵f（x）≤g（x）， 
∴或或， 
解得≤x＜1或x≥1， 
综上所述，不等式的解集为{x|x≥}． 
（Ⅱ）当x∈[-2，a）时，f（x）=|x-2a+1|+x+2≥3x+1，即|x-2a+1|≥2x-1； 
①当-2＜a≤时，2x-1＜0，|x-2a+1|≥2x-1恒成立； 
②当a＞，x∈[-2，）时，2x-1＜0，|x-2a+1|≥2x-1恒成立； 
x∈[，a）时，|x-2a+1|2≥|2x-1|2恒成立， 
即3+2（2a-3）x-4a（a-1）0恒成立， 
令g（x）=3+2（2a-3）x-4a（a-1），g（x）的最大值只可能是g（）或g（a）， 
，，∴当时，最大为0， 
g（a）=3-2a≤0，得0≤a≤， 
又a＞， 
∴＜a≤； 
综上所述：实数a的取值范围是{a|-2＜a≤}．;

【解析】 
Ⅰ通过去掉绝对值符号，转化求解不等式组的解集即可． 
Ⅱ已知条件转化为：所以可化为；分类讨论，即可求解实数的取值范围． 
此题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．
 

23.【答案】解：（Ⅰ）关于x的函数f（x）=a-3x+2． 
当a=1时，f（x）=-3x+2＞0， 
解方程-3x+2=0，得=1，=2， 
∴当a=1时，不等式f（x）＞0的解集为： 
{x|x＜1或x＞2}． 
（Ⅱ）当a＞0时，由不等式f（x）＞5-ax得a+（a-3）x-3=（ax+1）（x-3）＞0， 
解方程（ax+1）（x-3）=0，得＜0或x=3， 
∴当a＞0时，不等式f（x）＞5-ax的解集为{x|x＜-或x＞3}．;

【解析】 
当时，，解方程，得，，由此能求出当时，不等式的解集． 
当时，由不等式得，解方程，得或，由此能求出当时，不等式的解集． 
此题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．