高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法练习

人教B版（2019）必修第一册《2.2.3 一元二次不等式的解法》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

2.（5分）已知关于的不等式的解集为，则等于

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知集合，，则

A.  B.
C.  D.

4.（5分）设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.（5分）在等差数列中，若和是方程的两实数根，则

A.  B.  C.  D.

6.（5分）于的等式的解集为，：则

A.  B.  C.  D.

7.（5分）如果且，那么，，，的大小关系是

A.  B.
C.  D.

8.（5分）已知函数为奇函数，则

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和．若不等式对恒成立，则实数的可能取值为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知，，则下列不等式成立的是

A.  B.  C.  D.

11.（5分）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有

A.
B.
C. 的解集为
D. 的解集为或

12.（5分）下列四个不等式中，解集为的是

A.  B.
C.  D.

13.（5分）已知关于的不等式解集为，则

A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．

15.（5分）不等式的解集为，且，则______．

16.（5分）对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

17.（5分）关于的不等式的解集为______．

18.（5分）已知二次函数的部分对应值如表所示：

则不等式的解集是 ______用区间表示

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知，，解不等式．

20.（12分）已知关于的不等式 
当时解不等式 
当时解不等式．

21.（12分）已知函数 
当时，解不等式 
设，若，，都有，求实数的取值范围.

22.（12分）设函数

当时，求不等式的解集；

若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

23.（12分）已知点在函数且上． 
求函数的单调区间；  
若，且在上恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.已知集合，， 
 
故选 

 

2.【答案】A;

【解析】 
考查一元二次不等式的解和对应一元二次方程实根的关系．根据题意即可得出，，是方程的两实根，将代入方程即可求出． 
 
解：据题意知，，是方程的两实根； 
将代入方程得； 
． 
故选：． 
 

 

3.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查了集合交集，补集的混合运算，涉及不等式求解问题，属于基础题. 
先化简集合，，再求出，然后求出即可. 
 
解：集合， 
则， 
集合， 
， 
故选 
 
 

 

4.【答案】A;

【解析】求解二次不等式可得：或，

据此可知：是的充分不必要条件.

故选：A.
 

5.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查等差数列的性质、韦达定理，属于基础题． 
由题意利用等差数列的性质、韦达定理，求得的值． 
解：由题意可知， 
故选 

 

6.【答案】A;

【解析】解：关于的不等式的集为，  
又，  
所以，  
，所以．  
，  
故选：  
利用不等式的解以及达定理得到根系，后与已知条件化简解的值即．  
该题考查二次等式的解法，韦定理的应用，考算力．
 

7.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查一元二次不等式的解法，以及利用不等式的性质比较大小. 
求出的范围，利用赋值法，即可得. 
 
解：因为且，解得， 
令， 
则， 
所以 
故选 

 

8.【答案】B;

【解析】 
本题重点考查函数的奇偶性，属容易题. 
解：因为为奇函数，且的定义域为，所以，所以 
故选： 

 

9.【答案】CD;

【解析】解：因为函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和， 
所以，① 
所以，② 
①②联立可得，， 
因为对恒成立， 
即对恒成立， 
也即恒成立， 
令， 
所以在时恒成立， 
所以在时恒成立， 
构造函数 
则只需即可， 
， 
所以在上为减函数， 
所以， 
所以， 
故选： 
利用函数的奇偶性构造方程组求出与的解析式，代入不等式整理，通过换元，转化为函数最值问题求解的取值范围即可． 
此题主要考查了由奇偶性求解析式，利用导数研究函数的单调性及最值，属于难题．
 

10.【答案】ACD;

【解析】 
此题主要考查了不等式比较大小，由不等式的基本性质逐一判断即可．解：对于，因为，，所以，所以正确 
对于，由，当时，，所以不正确； 
对于，因为，，所以，所以正确 
对于，因为，所以均值不等式得，所以正确 

 

11.【答案】AC;

【解析】解：不等式的解集为，其中， 
所以，且，，选项A正确； 
所以，，选项B错误； 
所以不等式可化为； 
又，所以，即； 
又，所以，所以， 
即不等式的解集是， 
所以选项C正确、D错误． 
故选：． 
依题意，可判断，，利用根与系数的关系求出、、的关系，代入求解即可． 
该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化与运算能力，是中档题．
 

12.【答案】BCD;

【解析】解：对于，化为，其解集不为； 
对于，，，其解集为； 
对于，，，其解集为； 
对于，化为，，当且仅当时取等号； 
所以不等式的解集为． 
故选：． 
中，不等式化为，判断解集不为； 
B、、中，不等式化为，利用判别式判断其解集为． 
该题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
 

13.【答案】BCD;

【解析】解：由已知可得，是方程的两根， 
则由韦达定理可得：，且，解得，，所以A错误， 
选项B：化简为，解得，B正确， 
选项C：，C正确， 
选项D：化简为：，解得，D正确， 
故选：． 
由已知可得，是方程的两根，则由韦达定理可得：，且，解得，，然后对应各个选项逐个判断即可． 
此题主要考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

14.【答案】（-∞，0）∪（4，+∞）;

【解析】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即． 
若，要使不等式的解集不是空集，则  
时，有，解得． 
若，则满足条件．  
综上满足条件的的取值范围是． 
故答案为：． 
分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围． 
这道题主要考查一元二次不等式的基本解法，要注意分类讨论．
 

15.【答案】或;

【解析】解：由不等式的解集为， 
的两个根分别为，， 
由韦达定理：，． 
， 
由， 
可得：． 
解得：或． 
故答案为：或． 
根据不等式的解集可得的两个根为，，利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 
这道题主要考查了一元二次不等式和一元二次方程的关系的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】[-2，+∞）;

【解析】解：根据题意，分种情况讨论；  
时，原式为，恒成立，则；  
时，原式可化为，即；  
又由，则；  
要使不等式恒成立，需有即可；  
综上可得，的取值范围是；  
故答案为：． 
根据题意，分与两种情况讨论，时，易得原不等式恒成立，时，原式可变形为，由基本不等式的性质，易得的范围，综合两种情况可得答案．  
该题考查了函数的恒成立问题，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
 

17.【答案】;

【解析】解：不等式，可化为， 
即， 
其对应的方程的根为 
故不等式的解集为， 
故答案为：． 
把不等式，可化为，再解出即可． 
该题考查一元二次不等式的解法，基础题．
 

18.【答案】（-∞，-1）∪（4，+∞）;

【解析】解：根据二次函数的部分对应值表知，该二次函数的图象开口向上，函数的零点是和， 
所以对应不等式的解集为 
故答案为： 
根据表中数据得出二次函数图象开口向上，零点是和，由此写出对应不等式的解集． 
此题主要考查了二次函数与一元二次不等式的应用问题，是基础题．
 

19.【答案】解：不等式可化为， 
，， 
不等式可化为， 
不等式对应方程的两个实数根为和， 
当，即，不等式为，解集为； 
当，即时，不等式的解集为或； 
当，即时，不等式的解集为或； 
综上，时，不等式的解集为； 
时，不等式的解集为或； 
时，不等式的解集为或．;

【解析】该题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题． 
不等式化为，由，求出不等式对应方程的两个实数根，讨论的取值范围，求出对应不等式的解集即可． 
 

 

20.【答案】解：（1）当a=1时，不等式为-3x+2＜0 
解可得{x|1＜x＜2} 
（2）原不等式可转化为：（x-a）（x-2）＜0 
①当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜a} 
②a=2时，不等式的解答集为∅ 
③a＜2时不等式的解集合为{x|a＜x＜2};

【解析】 
当时，不等式为，可得原不等式可转化为：  
分，，三种情况讨论进行求解 
这道题主要考查了一元二次不等式的解法，其中中主要考查了分类讨论的思想在解题中的应用．
 

21.【答案】解：由得，， 
当时，， 
由，而，故解得， 
所以的解集为， 
由题意可知在上的最大值小于或等于在上的最小值. 
因为在上单调递减，所以在上的值域为 
则恒成立，令， 
于是在恒成立. 
当即时，在上单调递增， 
则只需，即，此时恒成立，所以 
当即时，在上单调递减， 
则只需，即，不满足，舍去 
当即时，只需，解得， 
而，所以  
综上所述，实数的取值范围为;

【解析】此题主要考查了正弦函数的图象与性质，利用不等式的性质求解，指数函数以及一元二次函数的图象与性质.

由化简，将代入，可得，再计算即可；

由题意可知在上的最大值小于或等于在上的最小值，求出在上的值域为，则恒成立，令，所以在恒成立，分类讨论二次函数的增减性.
 

22.【答案】解：， 
当时，， 
①当时，原不等式等价于，解得；②当时，原不等式等价于， 
解得； 
③当时，原不等式等价于，解得，此时无解； 
综上所述，不等式的解集为； 
①当时，恒成立等价于， 
又，，故； 
②当时，恒成立等价于恒成立， 
即，只需即可，即，， 
综上，;

【解析】此题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，考查运算能力，是一道中档题． 
将代入，通过讨论的范围，求出各个区间上的的范围，取交集即可； 
由恒成立思想可得的不等式，分类讨论解不等式即可得到所求范围． 

 

23.【答案】解：（1）将点P（e，1）代入f（x）=lox中，得loe=1，解得a=e， 
所以f（x）=lnx（x＞0）， 
h（x）=f（x）-x=lnx-x（x＞0）， 
h′（x）=-=， 
由h′（x）＞0，可得0＜x＜2，由h′（x）＜0，可得x＞2， 
所以h（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）． 
（2）由f（x）•g（x）≤ax-2在x∈（0，+∞）上恒成立， 
可得lnx（-2+1）lnx≤ax-2在x∈（0，+∞）上恒成立，即a≥恒成立， 
令F（x）==-2xlnx+， 
F′（x）=-2（lnx+1）-=-（lnx+1）（2+）， 
令F′（x）＞0，可得0＜x＜e，令F′（x）＜0，可得x＞e， 
所以F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， 
所以F（x）max=F（）=e+， 
所以a≥e+， 
所以a的取值范围为[e+，+∞）．;

【解析】 
将点代入解析式中，求得的值，从而可得，再对求导，利用导数与单调性的关系即可求得的单调区间； 
分离参数可得恒成立，，利用导数求出的最大值，即可求得的取值范围． 
此题主要考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．