高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用课后测评，共15页。试卷主要包含了判断一下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
 人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》同步练习 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有个 
 
 
 
．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个2.（5分）若实数，满足，则的最小值是A.  B.  C.  D. 3.（5分）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入经营，据市场分析，每辆客车营运的总利润单位：万元与营运年数为二次函数关系如图所示，则每辆客车营运几年，营运的年平均利润最大 
 
 A.  B.  C.  D. 4.（5分）若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为A.  B.  C.  D. 5.（5分）对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为A.  B.  C.  D. 6.（5分）设，，且，则有 
 A. 最小值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值7.（5分） 已知，，，则的最小值是 A.  B.  C.  D. 8.（5分）已知，则的最小值为A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）判断一下说法正确的是 A. “”的一个必要非充分条件是“”
B. 如果，那么
C. 函数的最小值为
D. 函数的任意自变量、满足10.（5分）已知，是正数，且，下列叙述正确的是A. 最大值为 B. 的最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为11.（5分）已知，，且，则(    )A.  B.
C.  D. 12.（5分）已知，，且，则A.  B.
C.  D. 13.（5分）已知且则下列不等式成立的是A.  B.
C.  D. 三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知是的边上任一点，且满足，、，则的最小值为 ______ ．15.（5分） 
 15-1.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时与车流速度假设车辆以相同速度行驶，单位：米秒、平均车长单位：米的值有关，其公式为． 
Ⅰ如果不限定车型，，则最大车流量为 ______ 辆小时； 
Ⅱ如果限定车型，，则最大车流量比Ⅰ中的最大车流量增加 ______ 辆小时．16.（5分），动直线过定点，动直线过定点，若直线l与相交于点 (异于点)，则周长的最大值为_________.17.（5分）在中，内角所对的边分别是，已知，若的面积，则的最小值为_________.18.（5分）已知，则的最小值为________.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）在中，角，，的对边分别为，，，有以下个条件：①；②；③请在以上个条件中选择一个，求面积的最大值.20.（12分）己知三个内角，，对应的边分别为，，，且．    Ⅰ求证：，，成等差数列；    Ⅱ若，求的取值范围．21.（12分）已知函数 
若的解集为，或，求不等式的解集； 
若任意，使得恒成立，求的取值范围．22.（12分）已知，，． 
求的最小值；  
若对，，恒成立，求实数的取值范围．23.（12分）已知函数，，且的最大值为求实数的值；若，，，求证：
答案和解析1.【答案】B;【解析】解：根据基本不等式成立的条件，对各命题考察如下： 
，这个运算是错误的， 
因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中“”这个条件缺失； 
，这个运算是错误的， 
因为取最小值时，，不等成立，即“”无法取得； 
，这个运算是错误的， 
因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中应限制“”； 
，这个运算是正确的， 
符合条件“一正，二定，三相等”． 
所以，只有是正确的， 
故选：． 
直接根据基本不等式求最值时的前提条件“一正，二定，三相等”，对各命题作出判断． 
这道题主要考查了运用基本不等式求最值，涉及应用的前提条件“一正，二定，三相等”，缺一不可，属于中档题．
 2.【答案】A;【解析】解：由于实数，满足，则 ，  
当且仅当时，等号成立，  
故选A． 
根据，利用基本不等式求得的最小值．  
这道题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题．
 3.【答案】C;【解析】 
由题意列得营运的年平均利润，再运用不等式可得答案. 
 
解：由题意得，则营运的年平均利润为 
，即 
故选 

 4.【答案】A;【解析】 
该题考查了不等式恒成立和利用基本不等式求最小值，考查了转化思想，属基础题． 
先利用基本不等求出的最小值，然后根据恒成立，可得，再求出的范围． 
 
解：正实数，满足， 
 
， 
当且仅当，即，时取等号， 
恒成立， 
只需， 
，， 
的取值范围为． 
故选：．
 5.【答案】B;【解析】 
 此题主要考查新定义和利用基本不等式的求解参数问题，属于中档题. 
 根据题意与为函数的一对“类指数”，根据已知关系式求得，再对利用基本不等式进行化简求解，即可求得值.解：根据题意，正实数 与 为函数的一对“类指数”， 
， 
当且仅当，即 时取等号， 
 
故答案为：
 6.【答案】A;【解析】 
此题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题. 
利用已知的等式得出，代入所求的代数式进行变形，结合基本不等式即可. 
 
解：，且，则， 
， 
 
 
又 
， 
当且仅当，即当且仅当时等号成立， 
所以的最小值为 
故选
 7.【答案】D;【解析】解：，，， 
则 
， 
当且仅当时上式取得等号， 
则的最小值是， 
故选：． 
由题意可得，运用基本不等式可得最小值． 
该题考查基本不等式的运用，注意乘法和等号成立的条件，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 8.【答案】D;【解析】 
此题主要考查了利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 
变形得，利用基本不等式即可得出． 
 
解：， 
 
， 
当且仅当，即时取等号， 
的最小值为 
故选
 9.【答案】BD;【解析】 
此题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数解析式，基本不等式等，比较基础． 
，取特值可判断，解方程组可判断，换元，利用函数的单调性求出最小值即可判断，用分析法转化成基本不等式求解. 
 
解：，取，，则，但，得，则成立，故“”的充分非必要条件是“”，错误； 
B.，将此式中的换成得  ， 
，得，正确； 
C.令，则在时递增， 
故，故错误； 
D.，，由基本不等式可知，当时，成立，正确. 
故选
 10.【答案】AB;【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属于中档题. 
根据已知条件，直接利用基本不等式可得的最大值从而判定； 
利用，得：，可求得的最小值，从而判定； 
，利用基本不等式，并注意等号是否能够取到，从而判定； 
，展开之后，利用基本不等式求最值，即可判定解：，是正数， 
， 
又， 
， 
， 
当且仅当时取等号， 
最大值为，故正确； 
由不等式，当且仅当时等号成立， 
得：， 
当且仅当时，取等号， 
的最小值为，故正确； 
， 
， 
取等号的条件是，这样，与已知矛盾， 
故上述“”中“”无法取到， 
，故错误； 
 
， 
当且仅当，即时取得等号， 
最小值为，故错误. 
故答案选：
 11.【答案】ABD;【解析】因为，，且，所以，故A正确；由已知得，，所以，所以，故B正确；，当且仅当时，等号成立，故C错误；，则，当且仅当时，等号成立，故D正确，故选ABD．
 12.【答案】ABD;【解析】 
此题主要考查了基本不等式以及对数与对数运算 ，考查了学生的分析以及计算能力，属中档题. 
由题意根据各函数并运用基本不等式依次判断. 
 
解：对于，因为，，且，所以，所以，故正确 
对于，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，故正确： 
对于，因为，当且仅当，即，时取等号， 
所以，即，故错误： 
对于，因为，且，所以，即，当且仅当，即，时取等号，故正确. 
故选 
 

 13.【答案】ABC;【解析】 
此题主要考查利用基本不等式求最值属于中档题. 
运用基本不等式可以判定，，的正误，利用换元法以及对勾函数的性质，可以判定的正确，由此即可得到答案. 
 
解：因为，且，所以， 
当且仅当时，取等号，故正确. 
 ，当且仅当时成立，故正确； 
 ， 当且仅当时，取等号故正确； 
令， 
则， 
当且仅当时取等号，则，故不正确； 
故选
 14.【答案】;【解析】解：，共线  
存在实数，满足  
 
 
 
 
，，即  
 
 
 
当且仅当，即时，取最小值为  
故答案为：  
利用向量加法三角形法则将表示出来，找出，的关系，进而求出的最小值  
本题主要考察了向量加法与减法三角形法则，及不等式的求解问题，属于中档题．
 15.【答案】1900；100;【解析】解：Ⅰ， 
，当时取最小值， 
当且仅当时“”成立， 
故最大车流量为：辆小时； 
Ⅱ， 
，当且仅当时等号成立， 
， 
辆小时 
故最大车流量比Ⅰ中的最大车流量增加辆小时． 
故答案为：， 
Ⅰ把带入，分子分母同时除以，利用基本不等式求得的最大值． 
Ⅱ把带入，分子分母同时除以，利用基本不等式求得的最大值最后于Ⅰ中最大值作差即可． 
这道题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．
 16.【答案】;【解析】由条件得直线过定点，直线过定点，且.又直线，所以，∴，当且仅当时等号成立，∴，即周长的最大值为.故答案为：.
 17.【答案】;【解析】 
此题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理，利用基本不等式求最值，需要对公式的灵活运用，属于一般题. 
先利用正弦定理将化为，由两角和的三角函数公式与诱导公式化简可得的值，由此可得的值，代入三角形面积公式可得与得大小关系，最后利用余弦定理和基本不等式可求的最小值． 
【解析】 
解：， 
 
， 
方程两边消去得， 
又，由此可得，且， 
， 
将代入，得， 
 
， 
当且仅当时等式成立， 
将两边平方得，化简得， 
的最小值为 
故答案为
 18.【答案】;【解析】此题主要考查基本不等式求函数的最值，属基础题，熟记基本不等式求最值的条件是解题关键．解： ， 当且仅当，即时取得“”， 
 
故答案为
 19.【答案】解：若选择①由正弦定理将化为：，又，所以，所以，即，，， 
，所以当时取到等号所以面积的最大值为若选择②由正弦定理将化为：又，所以，所以即，又，，又，，又由余弦定理可得：当且仅当时取等号，，  所以面积的最大值为若选择③因为，所以，当且仅当时取等号又由余弦定理得：当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号  所以面积的最大值为;【解析】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，基本不等式求最值，是中档题. 
若选择①，可求得，由三角函数有界性可求面积的最大值； 
若选择②，由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可求面积的最大值； 
若选择③，由余弦定理和基本不等式可得，再由面积公式可得答案. 

 20.【答案】解：Ⅰ证明：， 
， 
， 
， 
， 
， 
，， 
，可得，，成等差数列 
Ⅱ， 
， 
．;【解析】这道题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题， 
Ⅰ利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合，可得，结合范围，可求，，由，可得，，成等差数列 
Ⅱ由已知利用余弦定理，基本不等式即可求得． 
 

 21.【答案】解：， 
由不等式的解集为，或， 
，是方程的根， 
可得，， 
解得，， 
不等式， 
可得不等式的解集为； 
， 
任意，使得成立， 
当时，恒成立； 
当时，使得恒成立， 
令，，则， 
令，则，， 
， 
当且仅当即即时等号成立． 
可得当时，， 
则， 
即的取值范围为．;【解析】该题考查二次不等式的解法，注意运用二次方程的韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和参数分离法、换元法，结合基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题． 
由题意可得的解集为，或，可得，是方程的根，运用韦达定理可得，，再由二次不等式的解法可得解集； 
讨论，不等式显然成立；当时，运用参数分离可得恒成立，令，，则，运用换元法和基本不等式可得最小值，即可得到所求范围．
 22.【答案】解：（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，  
∴，  
∴，此时，．  
（2）∵对∀a，b∈（0，+∞）恒成立，  
∴或或  
或或，  
，∴．;【解析】 
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．  
由，通过分类讨论利用绝对值不等式的性质即可得出．  
此题主要考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 23.【答案】解：当时取到等号， 
， 
由，，， 
， 
当且仅当时取等号. 
;【解析】此题主要考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明，属于中档题． 
利用绝对值三角不等式求出； 
利用基本不等式得出，由即可得证．