重庆市二0三中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

二〇三中学2023年秋季开学质量检测高2022级数学试题

考试时间：120分钟  总分：150分

班级：             姓名：             考号：          

一、单选题（每小题5分，共40分）

1．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的坐标为（        ）

A．    B．    C．    D．

2．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116．这组数据的60%分位数是（        ）

A．98     B．99     C．99.5     D．100

3．如图，等腰梯形ABCD中，，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点F为线段BC的中点，则（        ）

A．  B．  C．  D．

4．将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为（        ）

A．     B．     C．     D．

5．已知两个平面，，两条直线l，m，则下列命题正确的是（        ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，，则

D．若l，m是异面直线，，，，，则

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在边长为2的正方形ABCD内部及其边界上运动，已知点，，，则的最大值是（        ）

A．2     B．4     C．6     D．

7．在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（        ）

A．     B．     C．     D．

8．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°．若的面积为，则该圆锥的侧面积为（        ）．

A．    B．    C．    D．

二、多选题（每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分）

9．下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（        ）

A．    B．z的虚部为1   C．z的共轭复数为 D．

10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（        ）

A．若，则点M是BC的中点

B．若，则点M是的重心

C．若，则点M，B，C三点共线

D．若，则

11．设A，B为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是（        ）

A．若，则     B．若，则A，B相互独立

C．若A与B相互独立，则   D．若A与B相互独立，则

12．如图，在正方体中，P为线段上的一个动点，下列结论中正确的是（        ）

A．         B．平面平面

C．存在唯一的点P，使得为90°   D．当点P为中点时，取得最小值

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．过圆锥的轴的截面是顶角为120°的等腰三角形，若圆锥的体积为，则圆锥的母线长为             ．

14．在平面四边形ABCD中，，，，若，则的面积为             ．

15．三棱锥P−ABC，平面ABC，，，，（单位：cm）则三棱锥P−ABC外接球的体积等于             ．

16．设样本数据，，…，的平均数为，方差为，若数据，，…，的平均数比方差大4，则的最大值是             ．

四、解答题（每小题12分，共70分）

17．（共10分）

已知，．

（1）若，求与的夹角

（2）若与的夹角为45°，求的值

18．（共12分）

在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．

（1）求角C的大小．

（2）若，的面积为，求边长c的值．

19．（共12分）

如图，在四棱锥S−ABCD中，，，，，

（1）求证：直线平面SBC；

（2）求证：直线平面SAB；

20．（共12分）

某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图．

（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；

（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数．

21．（共12分）

如图，在直三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，D，E分别是AC与的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

22．（共12分）

在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知是固定的，路宽．设灯柱高，．

（1）经测量当，时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求；

（2）因市政规划需要，道路AD要向右拓宽6m，求灯柱的高h（用来表示）；

（3）在（2）的条件下，若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S（m），求S关于的函数表达式，并求出S的最小值。

参考答案：

1．B

【分析】将化简即可得出答案

【详解】∵，

∴z所对应的向量坐标为．

故选：B

【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单．

2．C

【分析】根据分位数的定义即可求得答案．

【详解】这组数据的60%分位数是．

3．B

【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解．

【详解】由题可得：

．

故选：B．

4．A

【分析】运用列举法求古典概型的概率即可．

【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个，

所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的基本事件有：2023、2320、2032、2302、3202共5个，

所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个2不相邻的概率为．

故选：A．

5．D

【分析】根据直线、平面的位置关系一一判断求解．

【详解】

对于A，若，，则或或l与相交，A错误；

对于B，若，，，则与可以相交或平行，B错误；

对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；

对于D，因为，，所以存在直线，，因为l，m是异面直线，所以l与m′相交，因为，，，所以，又因为，，所以，D正确，

故选：D．

6．C

【分析】设，再求出和，利用向量数量积可得，最后由x的最大值为1可得的最大值为6．

【详解】

故选C．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

7．B

【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果．

【详解】

由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且为等腰梯形，过点做，过点做，由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为，由条件可得，，，，则，，则，所以为等腰直角三角形，

所以，即．

故选：B．

8．C

【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积．

【详解】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则，

，

∵，

∴，

由于SA，SB都是母线，所以，

的面积，，

在等腰直角三角形SAO中，，

所以侧面积；

故选：C．

9．ABD

【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解．

【详解】

，故虚部为1，B对；

其共轭复数为，C错误；

，A正确；

，故D正确，

故选：ABD

10．ACD

【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．

【详解】

对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得，

若，可得M为BC的中点，所以A正确；

图（1）

对于B中，若M为的重心，则满足，即，所以B不正确；

对于C中，由，可得，即，

所以M，B，C三点共线，所以C正确；

对于D中，如图（2）所示，由，

图（2）

可得，所以D正确．

故选：ACD

11．BD

【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C．

【详解】

对于A，若，则，故A错误；

对于B，因为，，

所以，所以A，B相互独立，故B正确；

对于C，A与B相互独立，则，也相互独立，

则，故C错误；

对于D，A与B相互独立，则，也相互独立，

所以，故D正确．

故选：BD．

12．AB

【分析】根据正方体的性质，结合空间位置关系，对选项逐一分析，得到正确结果．

【详解】

对于A项，利用正方体的特征可知，，且，所以平面，可得，所以A项正确；

对于B项，因为平面即为平面，因为平面，所以平面平面，所以B项正确；

对于C项，设正方体的棱长为1，，，

在中，

在中，，

当时，，

即，或，

所以当P与重合或P为的中点时，满足为90°，

所以满足条件的点P不唯一，所以C项不正确；

对于D项，将正方体的对角面进行翻折，可得图形如图所示：

根据平面内两点之间直线段最短，所以当P为图中的点时，

取得最小值，显然P不为中点，所以D项不正确；

故选：AB．

【点睛】该题以正方体为载体，考查空间线面位置关系，涉及到线线、线面和面面垂直等基础知识，要注意空间与平面间的相互转化，属于基础题目．

13．2

【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径和高，代入公式即可．

【详解】由题意可知，如图圆锥的轴截面的顶角，

所以在直角三角形中，，

圆锥的底面半径为，

高，

所以该圆锥的体积为：，

解得，

∴圆锥的母线长为2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

14．

【分析】利用余弦定理求出AC、，进而可求得，再利用三角形的面积公式可求得的面积．

【详解】连接AC，如下图所示：

由余弦定理可得，

由余弦定理可得，则为锐角，

所以，，

因此，．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

15．

【分析】补充图形为长方体，三棱锥P-ABC的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．

【详解】三棱锥P-ABC中，平面ABC，，，，

画出几何图形如图所示；

补充图形为长方体，则棱长分别为1，1，；

∵对角线长为，

∴三棱锥D-ABC的外接球的半径为1，

∴该三棱锥外接球的体积为．

故答案为．

【点睛】本题考查球的组合体问题，构建长方体是问题的关键．

16．

【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．

【详解】数据，，…，的平均数为，方差为，

所以，，即，

则，

因为，

所以，

故当时，的最大值是．

故答案为：．

17．

（1）；

（2）1

【分析】

（1）直接根据向量的夹角公式计算求解即可；

（2）根据向量的模计算求解即可．

【详解】解：

（1）由向量夹角的公式得，

因为，所以

（2）因为若与的夹角为45°，

所以由向量模的计算公式得：

，

所以．

18．

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）．

【分析】

（1）先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得平面SAB，再用面面垂直的判定定理证平面平面SBC；

（2）先利用平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理证平面SBC；

（3）利用空间向量求二面角，先分别求得面SAD的法向量为，平面SCD的法向量，利用夹角公式即可求得．

【详解】

（1）∵，

∴，

又，，由勾股定理知，，

又，

∴面ABCD，面ABCD，

∴，又，即，且，

∴平面SAB，又面SBC，

∴平面平面SBC．

（2）如图所示，过D作，则

在直角△DEC中，

∵，，可得，，

∴，

∴四边形ABED为矩形，

∴，

又平面SBC，平面SBC，

∴平面SBC．

【点睛】本题考查了证明面面垂直和线面平行，考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定定理，考查了面面角，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．

19．

（1）

（2）

【分析】

（1）先利用正弦定理边化角，然后整理即可；

（2）先利用面积公式求出a，再利用余弦定理求边长c的值．

【详解】

（1）∵

∴由正弦定理得，

又，

∴，

∴，

又，

∴；

（2）由已知可得，

∴，

∴，

∴．

20．

（1）众数为75，中位数为71.4；

（2）7人．

【分析】

（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；

（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数．

【详解】解：

（1）由题意得众数为75，

的频率为，

的频率为，

设中位数为a，，

∴．

（2）的人数：，

的人数：，

的人数：，抽样比例为，

从抽取的人数：．

21．

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）

【分析】

（1）证明平面，取中点F，只需证明；

（2）要证，只需证明平面，由线面垂直的性质及直三棱柱得证；

（3）由等体积法，求出点C到平面BDE的距离，根据直线与平面所成角的定义求解即可．

【详解】

（1）取中点F，连接EF、AF，

则，，，，

所以，，所以四边形AFED是平行四边形，

所以，平面，平面，所以平面．

（2）连接，

∵是正方形，

∴，

又平面平面且交线为，平面，

∴平面，又平面，

∴，

又∵直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

∴，

又，

∴平面，又平面

∴．

（3）设C到平面BDE的距离为h，

因为，D为AC中点，所以，

，，

，，

，，，

记直线CD与平面BDE所成角为，则．

所以直线CD与平面BDE所成角的正弦值为．

22．

（1）

（2）

（3），S最小值为．

【分析】

（1）由余弦定理求出AC，则发现为等边三角形可得解；

（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；

（3）根据正弦定理分别表示各边长及S，再根据三角函数求值域的方法可得最值．

【详解】

（1）在中，当时，，

所以，

由余弦定理，

所以，

在中，又，

所以是等边三角形，即．

（2），，

，

在中，由正弦定理得，

所以

所以

在中，由正弦定理得，

所以，

所以；

（3）在中，由正弦定理得，

所以，

所以

所以

，

因为，

所以，

所以当，

即时，S取最小值，

故S关于的函数表达式为，S最小值为．