山东省菏泽市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

2021级高二上学期期末考试

数学试题

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.

【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是，

所以点关于平面对称的点的坐标是，

故选：C

2. 已知直线与直线平行，则m的值为（    ）

A. 3 B.  C. 3或 D. 3或4

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.

【详解】由题设，，可得或，

当时，、平行，符合题设；

当时，、重合，不合题设；

∴

故选：B.

3. 已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.

【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，

设的倾斜角为，，所以.

故选：D

4. 在等比数列中，，，则公比q的值为（    ）

A. 1 B.  C. 1或2 D. 1或

【答案】D

【解析】

【分析】讨论、，由已知结合等比数列前n项和公式求公比q.

【详解】由题设，当时，符合题设；

当时，，

∴，则，可得或（舍），

综上，或.

故选：D.

5. 已知等差数列满足，若数列的前项和为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出等差数列的通项公式，然后由裂项相消法求和即可.

【详解】设等差数列的公差为，则，解得

则

所以

则

故选：A

6. 已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.

【详解】由得，

则圆的圆心为，半径，

由，

则圆心到直线的距离，

∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.

故选：B.

7. 等轴双曲线的焦距为（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得，然后求得.

【详解】由解得或，

所以，则，

，所以焦距.

故选：C

8. 已知点与不重合的点A，B共线，若以A，B为圆心，2为半径的两圆均过点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得两点的坐标满足圆，然后由圆的性质可得当时，弦长最小，当过点时，弦长最长，再根据向量数量积的运算律求解即可

【详解】设点，则以A，B为圆心，2为半径的两圆方程分别为

和，

因为两圆过，

所以和，

所以两点的坐标满足圆，

因为点与不重合的点A，B共线，所以为圆的一条弦，

所以当弦长最小时，，

因为，半径为2，所以弦长的最小值为，

当过点时，弦长最长为4，

因为，

所以当弦长最小时，的最大值为，

当弦长最大时，的最小值为，

所以的取值范围为，

故选：D

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ）

A. 最小 B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得，即可得出数列单调性，进而判断选项BCD的正确性，再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小，得出正确结果.

【详解】根据等差数列前项和公式可得

可得，即选项BC正确；

因此等差数列的公差，所以数列为递增数列；

，即选项D正确；

由可知，该数列前1011项全部为负，所以前1011项的和最小，即最小，所以A错误；

故选：BCD

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则

B. 在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面

C. 已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为

D. 若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为

【答案】ACD

【解析】

【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐标表示即可判断；B根据空间向量共面的结论即可判断；C由，应用向量的运算律求的模即可；D用基底及对应坐标表示出向量即可判断.

【详解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，

∴，，，，，

∴成立，正确；

B：由，而，故A，B，C，G四点不共面，错误；

C：如下图，，

∴，又且棱长为1，

∴，则，正确；

D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.

故选：ACD.

11. 已知曲线，分别为C的左、右焦点，点P在C上，且是直角三角形，下列判断正确的是（    ）

A. 曲线C的焦距为

B. 若满足条件的点P有且只有4个，则m的取值范围是且

C. 若满足条件的点P有且只有6个，则

D. 若满足条件的点P有且只有8个，则m的取值范围是

【答案】AC

【解析】

【分析】依次对所给选项利用数形结合的思想进行判断即可.

【详解】A.当C表示椭圆时，因为，所以C的焦点在x轴上，且，

所以，即，所以焦距为；

当C表示双曲线时，因为，即，所以C的焦点在x轴上，

所以，即，所以焦距为；故A正确；

B.若满足条件的点P有且只有4个，则C表示椭圆，如图1，以为直径的圆O与C没有公共点，

所以，即，所以m的取值范围是，故B错误；

C.若满足条件的点P有且只有6个，则C表示椭圆，如图2，以为直径的圆O与C有2个公共点，

所以，即，所以m的取值范围是，故C正确；

D.若满足条件的点P有且只有8个，则当C表示椭圆时，如图3，以为直径的圆O与C有4个公共点，

所以，即，所以m的取值范围是；

当C表示双曲线时，如图4，以为直径的圆O与C恒有8个公共点，

所以，综上m的取值范围是或；故D错误.

故选：AC

12. 两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线．在长方体中，，，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（    ）

A. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线

B. 若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆

C. 若，则点P的轨迹为抛物线

D. 若，则点P的轨迹为双曲线

【答案】BD

【解析】

【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离，结合圆锥曲线的定义判断正误；C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角，并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系，结合题设判断P的轨迹.

【详解】A：如下图，P到直线的距离与P到平面的距离相等，又P在平面ABCD内，

∴在平面内，P到的距离与P到直线的距离相等，又，

∴在直线上，故P的轨迹为直线，错误；

B：P到直线的距离与P到的距离之和等于4，

同A知：平面内，P到直线的距离与P到的距离之和等于4，而，

∴P的轨迹为椭圆，正确；

C：如下示意图，根据正方体的性质知：与面所成角的平面角为，

∴时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，

而，则，即，故P的轨迹为椭圆，错误；

D：同C分析：时，相当于以为轴，轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线，

而，即，故P的轨迹为双曲线，正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹，由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小，进而确定轨迹形状.

三､填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分.

13. 已知△的三个顶点分别是点A（4，0），，，则△的外接圆的方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】令外接圆圆心，而中点为、中点为，由求x、y，进而求半径，即可写出△的外接圆的方程.

【详解】令△的外接圆圆心，又A（4，0），，

∴中点为，则，则，

中点，则，则，

∴圆心，又外接圆的半径，

∴△的外接圆的方程为.

故答案为：.

14. 已知数列的前项和为，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】当时，求解，当当时，求出然后求解.

【详解】当时，，

当时，①

②

减②得：

所以是以为首项，为公比的等比数列.

所以

故答案：

15. 如图，已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时：（1）当点A在圆内且不与点重合时，点的轨迹是__________（从圆､椭圆､抛物线中选择一个填写）；（2）当__________（从>，=，<中选择一个填写）时，点的轨迹是双曲线的一支．

【答案】    ①. 椭圆    ②. >

【解析】

【分析】根据圆锥曲线的定义判断求解．

【详解】当点A在圆内且不与点重合时，，因此点轨迹是以为焦点，长轴长为半径的椭圆，

当点A在圆上时，点到圆心重合，

当点A在圆外时，，此时点轨迹是以为焦点，实轴长为半径的双曲线的一支．

故答案为：椭圆；．

16. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______．

【答案】

【解析】

【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率.

【详解】如下图，垂直一条渐近线，则，

过作，故，又，

∴，，又在△中，故，，

由双曲线定义知：，则，

∴.

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上．

（1）求p的值及F的坐标；

（2）过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），求．

【答案】（1），   

（2）4

【解析】

【分析】（1）将M坐标代入方程即可；

（2）联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标，再利用焦半径公式求出即可.

【小问1详解】

将代入，得，解得，

所以

【小问2详解】

由（1）得抛物线方程为，

直线l的方程为，

联立消y得，

解得或，

因为A在第一象限，所以，

所以，，

所以

18. 已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相交于点M（2，0）和N（4，0）．

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l的方程．

【答案】（1）;   

（2）有2条，分别为、。

【解析】

【分析】（1）由题设易知圆心在直线上，联立求圆心坐标，进而求半径，即可得圆的方程.

（2）判断的位置，讨论直线l斜率，结合圆的方程，应用韦达定理、弦长公式求参数，即可判断直线的条数及对应方程.

【小问1详解】

由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为，

∴圆的半径为，

综上，圆C的标准方程：.

【小问2详解】

∵，

∴在圆外，

当直线l斜率不存在时，直线方程为，则，，显然符合题设；

当直线l斜率存在时，设为，联立圆C可得：，

若，，则，，

∴，可得：.

∴此时，直线l：，即.

综上，符合条件的直线有2条，分别为、.

19. 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．

（1）若PB的中点为E，求证：平面PCD；

（2）若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，，由此能证明平面PCD；

（2）△为等边三角形，是中点，作，以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

【小问1详解】

如图，取PC的中点F，连接EF，DF，

，F分别为PB，PC的中点，

，，

且，

且，

四边形ADFE是平行四边形，

，

平面PCD，平面PCD，

平面PCD．

【小问2详解】

若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，

由侧面底面ABCD，面面，面，

∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，

∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.

∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：

∴、、、，则，，，

设平面BDP的法向量，则，取，得，

设平面PCD的法向量，则，取，得，

设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，

平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．

20. 已知数列的首项，且满足．

（1）证明：数列为等比数列，并求出数列通项公式；

（2）设，，求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可求解.

【小问1详解】

由，两边取倒数得，

即，即

故数列是首项为，公比为3的等比数列，

所以，，即

所以数列的通项公式为

【小问2详解】

由（1）知，，

①

②

两式相减得：

21. 已知双曲线的实轴长为2，且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知过点的直线与双曲线交于两点.

（i）当时，能否是线段的中点？若能，求出的方程；若不能，说明理由；

（ii）若点不是线段的中点，写出所满足的关系式（不要求证明）

【答案】（1）   

（2）（i）不能，理由见解析；（ii）

【解析】

【分析】（1）由题意可知，利用任一点到它的两条渐近线的距离之积为可计算出，得出双曲线的标准方程；

（2）（i）假设是线段的中点，利用点差法可求出直线方程，再根据直线和双曲线的位置关系得出矛盾即可判断出结论；（ii）根据（i）中的证明可假设点是线段的中点求出所满足的关系式，即可得出结论.

【小问1详解】

由双曲线实轴长为2可得，即；

则双曲线的两条渐近线为；

设，则满足，

到两条渐近线的距离之积为，

联立①②得，解得

所以双曲线的标准方程为

【小问2详解】

（i）由题意可知，假设是线段的中点，

设直线与双曲线的两点，

则满足，两式相减整理得；

由是线段的中点可得，即

所以直线的方程为，即；

联立直线与双曲线的方程可得，

此方程，此时直线与双曲线无交点，

这与直线与双曲线交于两点矛盾，

所以不能是线段的中点.

（ii）根据点和双曲线位置关系可知，假设点是线段的中点，

由点差法可知的直线方程为，

联立双曲线和直线方程可得

当时，即，此时方程只有一个根，即直线与双曲线仅有一个交点，与题意不符，此时不是线段的中点；

当时，满足即可得出不是线段的中点，

即，整理得，

此时方程只有一个根或无实数根，即直线与双曲线仅有一个交点或没有交点，与题意不符，此时不是线段的中点；

综上可知，所满足的关系式为.

但若为坐标原点时，总存在关于原点对称的两点，所以还需满足，

因此所满足的关系式为.

22. 已知椭圆的离心率是，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

【答案】（1）；   

（2）2.

【解析】

【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；

(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.

小问1详解】

由题知，解得，

∴椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

得，，

从而

已知，可得.

∵

.

设到直线的距离为，则，

结合化简得

此时的面积最大，最大值为2.

当且仅当即时取等号，

综上，的面积的最大值为2.